Fark Denklemi ve Diferansiyel Denklemi
Doğal bir fenomen, bir dizi bağımsız değişken ve parametrenin işlevleriyle matematiksel olarak tanımlanabilir. Özellikle uzaysal konum ve zamanın bir fonksiyonu ile ifade edildiklerinde denklemlerle sonuçlanır. Fonksiyon, bağımsız değişkenlerdeki veya parametrelerdeki değişiklikle değişebilir. Değişkenlerinden biri değiştiğinde fonksiyonda meydana gelen sonsuz küçük değişime o fonksiyonun türevi denir.
Diferansiyel denklem, bir fonksiyonun türevlerini ve fonksiyonun kendisini içeren herhangi bir denklemdir. Basit bir diferansiyel denklem, Newton'un İkinci Hareket Yasası'nınkidir. Kütlesi m olan bir nesne 'a' ivmesi ile hareket ediyorsa ve üzerine F kuvvetiyle etki ediliyorsa, Newton'un İkinci Yasası bize F=ma olduğunu söyler. Burada yine 'a' zamanla değişir, 'a'yı şu şekilde yeniden yazabiliriz; a=dv/dt; v hızdır. Hız, uzay ve zamanın fonksiyonudur, yani v=ds/dt; bu nedenle 'a'=d2s/dt2
Bunları akılda tutarak Newton'un ikinci yasasını diferansiyel denklem olarak yeniden yazabiliriz;
'F' v ve t'nin bir fonksiyonu olarak – F(v, t)=mdv/dt, veya
'F' s ve t'nin bir fonksiyonu olarak – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
İki tür diferansiyel denklem vardır; ODE ile kıs altılan adi diferansiyel denklem veya PDE ile kıs altılan kısmi diferansiyel denklem. Adi diferansiyel denklemin içinde adi türevler (sadece bir değişkenin türevleri) olacaktır. Kısmi diferansiyel denklemin içinde diferansiyel türevler (birden fazla değişkenin türevleri) olacaktır.
ör. F=m d2s/dt2 bir ODE'dir, oysa α2 d 2u/dx2=du/dt bir PDE'dir, t ve x'in türevlerine sahiptir.
Fark denklemi, diferansiyel denklemle aynı ama biz ona farklı bir bağlamda bakıyoruz. Diferansiyel denklemlerde, zaman gibi bağımsız değişken, sürekli zaman sistemi bağlamında ele alınır. Ayrık zamanlı sistemde, fonksiyonu fark denklemi olarak adlandırırız.
Fark denklemi, farklılıkların bir fonksiyonudur. Bağımsız değişkenlerdeki farklılıklar üç türdür; sayı dizisi, ayrık dinamik sistem ve yinelenen işlev.
Sayı dizisinde değişiklik, dizideki her sayıyı dizideki önceki sayılarla ilişkilendirmek için bir kural kullanılarak yinelemeli olarak oluşturulur.
Ayrık bir dinamik sistemdeki fark denklemi, bazı ayrık giriş sinyallerini alır ve çıkış sinyali üretir.
Fark denklemi, yinelenen işlev için yinelenen bir haritadır. Örneğin, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….yinelenen bir fonksiyonun dizisidir. f(y0) y0 öğesinin ilk yinelemesidir k. yineleme fk ile gösterilir (y0).
