Binom ve Normal Dağılım
Rastgele değişkenlerin olasılık dağılımları, istatistik alanında önemli bir rol oynamaktadır. Bu olasılık dağılımlarından binom dağılımı ve normal dağılım, gerçek hayatta en sık rastlananlardan ikisidir.
Binom dağılımı nedir?
Binom dağılımı, her birinin başarı olasılığı p olan sonlu bir bağımsız evet/hayır deneyleri dizisinin başarı sayısı olan rastgele değişken X'e karşılık gelen olasılık dağılımıdır. X'in tanımından, kesikli bir rastgele değişken olduğu açıktır; bu nedenle, binom dağılımı da ayrıktır.
Dağılım X ~ B (n, p) olarak gösterilir; burada n deney sayısı ve p başarı olasılığıdır. Olasılık teorisine göre, B (n, p)'nin [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p) olasılık kütle fonksiyonunu takip ettiği sonucunu çıkarabiliriz.)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Bu denklemden, X, E(X)=np'nin beklenen değeri ve X, V(X)=np (1- p)'nin varyansı olduğu da çıkarılabilir.
Örneğin, 3 kez yazı tura atma ile ilgili rastgele bir deney düşünün. Başarıyı H elde etmek, başarısızlığı T almak olarak ve X rastgele değişkenini deneydeki başarıların sayısı olarak tanımlayın. Sonra X ~ B (3, 0,5) ve X'in [lateks] \binom{3}{k} 0 tarafından verilen olasılık kütle fonksiyonu.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Bu nedenle, en az 2 H elde etme olasılığı P(X ≥ 2)=P (X=2 veya X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0,375 + 0,125=0,5.
Normal dağılım nedir?
Normal dağılım, olasılık yoğunluk fonksiyonu tarafından tanımlanan sürekli olasılık dağılımıdır, [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]. [lateks] \mu ve \\sigma [/lateks] parametreleri, ilgilenilen popülasyonun ortalamasını ve standart sapmasını belirtir. [lateks] \mu=0 ve \\sigma=1 [/lateks] olduğunda, dağılıma standart normal dağılım denir.
Doğal olayların çoğu normal dağılımı takip ettiğinden bu dağılıma normal denir. Örneğin, insan popülasyonunun IQ'su normal olarak dağılmıştır. Grafikten görüldüğü gibi tek modlu, ortalamaya göre simetrik ve çan şeklindedir. Ortalama, mod ve medyan çakışıyor. Eğrinin altındaki alan, popülasyonun belirli bir koşulu sağlayan kısmına karşılık gelir.
[lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateks] yaklaşık %68,2, %95,6 ve %99,8'dir sırasıyla.
Binom ve Normal Dağılımlar arasındaki fark nedir?
- Binom dağılımı kesikli bir olasılık dağılımıdır, oysa normal dağılım süreklidir.
- Binom dağılımının olasılık kütle fonksiyonu şudur: [lateks]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/lateks], normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ise [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]
- Binom dağılımı, belirli koşullar altında normal dağılımla yaklaşık olarak hesaplanır, ancak tersi değil.
