Türev ve İntegral
Farklılaştırma ve entegrasyon, Calculus'taki iki temel işlemdir. Matematik, mühendislik ve Fizik gibi çeşitli alanlarda sayısız uygulamaları vardır. Hem türev hem de integral bir fonksiyonun davranışını veya ilgilendiğimiz fiziksel bir varlığın davranışını tartışır.
Türev nedir?
Diyelim ki y=ƒ(x) ve x0 ƒ'nin etki alanında. Sonra limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx, ƒ'nin x0 noktasındaki anlık değişim hızı olarak adlandırılır., bu sınırın sonlu olmasını sağlayın. Bu limit aynı zamanda at'ın türevi olarak da adlandırılır ve ƒ(x) ile gösterilir.
Fonksiyonun tanım kümesindeki rastgele bir x noktasında f fonksiyonunun türevinin değeri limΔx→∞ ile verilir [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Bu, aşağıdaki ifadelerden herhangi biri ile gösterilir: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Birkaç değişkenli fonksiyonlar için kısmi türev tanımlarız. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, diğer değişkenlerin sabit olduğu varsayılarak, bu değişkenlerden birine göre türevidir. Kısmi türevin sembolü ∂'dır.
Geometrik olarak bir fonksiyonun türevi, ƒ(x) fonksiyonunun eğrisinin eğimi olarak yorumlanabilir.
İntegral Nedir?
Entegrasyon veya anti-farklılaşma, farklılaşmanın tersi sürecidir. Başka bir deyişle, fonksiyonun türevi verildiğinde orijinal bir fonksiyon bulma işlemidir. Bu nedenle, ƒ(x)=F (x) ise, bir ƒ(x) fonksiyonunun bir integrali veya anti-türevi, ƒ(x) alanındaki tüm x için F (x) fonksiyonu olarak tanımlanabilir.
∫ƒ(x) dx ifadesi, ƒ(x) fonksiyonunun türevini belirtir. ƒ(x)=F (x) ise, o zaman ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, burada C bir sabittir, ∫ƒ(x) dx, ƒ(x)'in belirsiz integrali olarak adlandırılır.
Negatif olması gerekmeyen ve [a, b] aralığında tanımlanan herhangi bir ƒ işlevi için, a∫b ƒ(x) dx, [a, b] üzerinde ƒ belirli integrali olarak adlandırılır.
Bir ƒ(x) fonksiyonunun belirli integrali a∫bƒ(x) dx ƒ(x)'in alanı olarak geometrik olarak yorumlanabilir. ƒ(x) eğrisi, x ekseni ve x=a ve x=b çizgileriyle sınırlanan bölge.
Türev ve İntegral arasındaki fark nedir?
• Türev, süreç farklılaşmasının sonucudur, integral ise süreç entegrasyonunun sonucudur.
• Bir fonksiyonun türevi herhangi bir noktadaki eğrinin eğimini, integral ise eğrinin altındaki alanı temsil eder.
