Farklılaştırma ve Türev
Diferansiyel hesapta, türev ve türev yakından ilişkilidir, ancak çok farklıdır ve fonksiyonlarla ilgili iki önemli matematiksel kavramı temsil etmek için kullanılır.
Türev nedir?
Bir fonksiyonun türevi, girdisi değiştikçe fonksiyon değerinin değişme hızını ölçer. Çok değişkenli fonksiyonlarda fonksiyon değerindeki değişim, bağımsız değişkenlerin değerlerinin değişim yönüne bağlıdır. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, belirli bir yön seçilir ve fonksiyon bu belirli yönde farklılaştırılır. Bu türev yönlü türev olarak adlandırılır. Kısmi türevler, yönlü türevlerin özel bir türüdür.
Vektör değerli bir f fonksiyonunun türevi, [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac sınırı olarak tanımlanabilir {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] sonlu olarak nerede olursa olsun. Daha önce bahsedildiği gibi, bu bize f fonksiyonunun u vektörünün yönü boyunca artış oranını verir. Tek değerli bir fonksiyon durumunda, bu, türevin iyi bilinen tanımına indirgenir, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Örneğin, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] her yerde türevlenebilir ve türev, [lateks]\\lim_{h sınırına eşittir \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], yani [lateks]3x^{2}+4[/lateks]'e eşittir. [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/lateks] gibi fonksiyonların türevleri her yerde bulunur. Sırasıyla [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks] işlevlerine eşittirler.
Bu, birinci türev olarak bilinir. Genellikle f fonksiyonunun birinci türevi f (1) ile gösterilir. Şimdi bu gösterimi kullanarak, daha yüksek dereceli türevleri tanımlamak mümkündür. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] ikinci dereceden yönlü türevdir ve n th türevini f (n) ile ifade eder her n için, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], n th türevini tanımlar.
Farklılaşma nedir?
Farklılaştırma, türevlenebilir bir fonksiyonun türevini bulma işlemidir. D ile gösterilen D operatörü, bazı bağlamlarda farklılaşmayı temsil eder. x bağımsız değişken ise, o zaman D ≡ d/dx. D-operatörü lineer bir operatördür, yani herhangi iki türevlenebilir f ve g fonksiyonu ve c sabiti için, aşağıdaki özellikler hold.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-operatörü kullanılarak, türevle ilgili diğer kurallar aşağıdaki gibi ifade edilebilir. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 ve D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Örneğin, F(x)=x 2sin x verilen kurallar kullanılarak x'e göre türevlendiğinde, cevap 2 x sin x + x olacaktır2cos x.
Farklılaşma ve türev arasındaki fark nedir?• Türev, bir fonksiyonun değişim oranını ifade eder • Türev alma, bir fonksiyonun türevini bulma işlemidir. |
