Türev ve Diferansiyel
Diferansiyel hesapta, bir fonksiyonun türevi ve diferansiyeli yakından ilişkilidir ancak çok farklı anlamlara sahiptir ve türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili iki önemli matematiksel nesneyi temsil etmek için kullanılır.
Türev nedir?
Bir fonksiyonun türevi, girdisi değiştikçe fonksiyon değerinin değişme hızını ölçer. Çok değişkenli fonksiyonlarda fonksiyon değerindeki değişim, bağımsız değişkenlerin değerlerinin değişim yönüne bağlıdır. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, belirli bir yön seçilir ve fonksiyon bu belirli yönde farklılaştırılır. Bu türev yönlü türev olarak adlandırılır. Kısmi türevler, yönlü türevlerin özel bir türüdür.
Vektör değerli bir f fonksiyonunun türevi, [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac sınırı olarak tanımlanabilir {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] sonlu olarak nerede olursa olsun. Daha önce bahsedildiği gibi, bu bize f fonksiyonunun u vektörünün yönü boyunca artış oranını verir. Tek değerli bir fonksiyon durumunda, bu, türevin iyi bilinen tanımına indirgenir, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Örneğin, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] her yerde türevlenebilir ve türev, [lateks]\\lim_{h sınırına eşittir \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], yani [lateks]3x^{2}+4[/lateks]'e eşittir. [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/lateks] gibi fonksiyonların türevleri her yerde bulunur. Sırasıyla [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks] işlevlerine eşittirler.
Bu, birinci türev olarak bilinir. Genellikle f fonksiyonunun birinci türevi f (1) ile gösterilir. Şimdi bu gösterimi kullanarak, daha yüksek dereceli türevleri tanımlamak mümkündür. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] ikinci dereceden yönlü türevdir ve n th türevini f (n) ile ifade eder her n için, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], n th türevini tanımlar.
Diferansiyel nedir?
Bir fonksiyonun diferansiyeli, bağımsız değişken veya değişkenlerdeki değişikliklere göre fonksiyondaki değişikliği temsil eder. Genel gösterimde, tek bir x değişkeninin belirli bir f fonksiyonu için, 1 df mertebesinin toplam diferansiyeli, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] ile verilir. Bu, x'te (yani d x) sonsuz küçük bir değişiklik için, f'de bir f (1)(x)d x değişikliği olacağı anlamına gelir.
Sınırları kullanarak aşağıdaki gibi bu tanımla sonuçlanabilir. ∆ x'in keyfi bir x noktasındaki x'teki değişiklik olduğunu ve ∆ f'nin f fonksiyonundaki karşılık gelen değişiklik olduğunu varsayalım. ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ gösterilebilir, burada ϵ hatadır. Şimdi, limit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (daha önce belirtilen türev tanımını kullanarak) ve böylece, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Bu nedenle, ∆ x→ 0 ϵ=0 olduğu sonucuna varalım. Şimdi, ∆ x→ 0 ∆ f'yi d f olarak ve ∆ x→ 0 ∆ x'i d x olarak ifade ederek, diferansiyelin tanımı kesin olarak elde edilir.
Örneğin, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] fonksiyonunun diferansiyeli [lateks](3x^{2}+4)dx[/lateks].
İki veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda, bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, bağımsız değişkenlerin her birinin yönlerindeki diferansiyellerin toplamı olarak tanımlanır. Matematiksel olarak, [lateks]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/lateks] şeklinde ifade edilebilir..
Türev ve diferansiyel arasındaki fark nedir?
• Türev, bir fonksiyonun değişim oranını ifade ederken, diferansiyel, bağımsız değişken değişime maruz kaldığında fonksiyonun gerçek değişimini ifade eder.
• Türev, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ ile verilir. h}[/latex], ancak diferansiyel [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] ile verilir.
