Ayrık İşlev ve Sürekli İşlev
Fonksiyonlar, matematiğin hemen hemen tüm alt alanlarında yaygın olarak kullanılan matematiksel nesnelerin en önemli sınıflarından biridir. Adlarından da anlaşılacağı gibi, hem ayrık işlevler hem de sürekli işlevler iki özel işlev türüdür.
Bir fonksiyon, birinci kümedeki her öğe için ikinci kümede buna karşılık gelen değer benzersiz olacak şekilde tanımlanan iki küme arasındaki bir ilişkidir. f, A kümesinden B kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Daha sonra her x ϵ A için f (x) sembolü, B kümesindeki x'e karşılık gelen benzersiz değeri gösterir.x'in f altındaki görüntüsü denir. Bu nedenle, A'dan B'ye f ilişkisi, ancak ve ancak her xϵ A ve y ϵ A içinse bir fonksiyondur; x=y ise f (x)=f (y). A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi denir ve fonksiyonun tanımlandığı kümedir.
Örneğin, her xϵ A için f (x)=x + 2 ile tanımlanan R'den R'ye f ilişkisini düşünün. Bu, alanı R olan bir fonksiyondur, her x ve y reel sayısı için olduğu gibi, x=y, f (x)=x + 2=y + 2=f (y) anlamına gelir. Ancak, 'a'nın x'in asal çarpanları olduğu g (x)=a ile tanımlanan N'den N'ye g ilişkisi, g (6)=3 ve g (6)=2 gibi bir fonksiyon değildir.
Ayrık işlev nedir?
Ayrık bir işlev, etki alanı en fazla sayılabilir olan bir işlevdir. Basitçe, bu, etki alanının tüm öğelerini içeren bir liste yapmanın mümkün olduğu anlamına gelir.
Herhangi bir sonlu küme en fazla sayılabilirdir. Doğal sayılar kümesi ve rasyonel sayılar kümesi, en çok sayılabilir sonsuz kümelere örnektir. Gerçek sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi en fazla sayılabilir değildir. Her iki küme de sayılamaz. Bu, bu kümelerin tüm öğelerini içeren bir liste yapmanın imkansız olduğu anlamına gelir.
En yaygın ayrık fonksiyonlardan biri faktöriyel fonksiyondur. f:N U{0}→N her n ≥ 1 ve f (0)=1 için f (n)=n f (n-1) ile özyinelemeli olarak tanımlanan faktöriyel fonksiyon olarak adlandırılır. Alan adının N U{0} en fazla sayılabilir olduğunu gözlemleyin.
Sürekli fonksiyon nedir?
f, f, f (x)→ f (k) tanım kümesindeki her k için x → k olacak şekilde bir fonksiyon olsun. O halde f sürekli bir fonksiyondur. Bu, f(x)'i f(k)'ye keyfi olarak yakın yapmanın, x'i f'nin etki alanındaki her k için k'ye yeterince yakın yaparak mümkün olduğu anlamına gelir.
R üzerinde f (x)=x + 2 fonksiyonunu göz önünde bulundurun. x → k, x + 2 → k + 2 olarak f (x)→ f (k) olduğu görülebilir. Bu nedenle f sürekli bir fonksiyondur. Şimdi, x > 0 ise g (x)=1 pozitif reel sayılar üzerinde g'yi ve x=0 ise g (x)=0'ı düşünün. O halde, x → 0 olarak g (x)'in limiti mevcut olmadığından (ve dolayısıyla g (0)'a eşit olmadığından) bu fonksiyon sürekli bir fonksiyon değildir.
Ayrık ve sürekli işlev arasındaki fark nedir?
• Ayrık bir fonksiyon, etki alanı en fazla sayılabilir olan ancak sürekli fonksiyonlarda böyle olması gerekmeyen bir fonksiyondur.
• Tüm sürekli fonksiyonlar ƒ, ƒ(x)→ƒ(k) olarak x → k ve ƒ'nin etki alanındaki her x ve her k için özelliğine sahiptir, ancak bazı ayrık fonksiyonlarda durum böyle değildir..
