Doğrusal Denklem ile Doğrusal Olmayan Denklem Arasındaki Fark

2024 Yazar: Alex Aldridge | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 13:52

Doğrusal Denklem ve Doğrusal Olmayan Denklem

Matematikte cebirsel denklemler, polinomlar kullanılarak oluşturulan denklemlerdir. Açıkça yazıldığında denklemler P(x)=0 biçiminde olacaktır, burada x n bilinmeyen değişkenin bir vektörüdür ve P bir polinomdur. Örneğin, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 açıkça yazılmış iki değişkenli cebirsel bir denklemdir.. Ayrıca, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ cebirsel bir denklemdir, ancak örtük biçimde ve Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ^{biçimini alacak 2} +3zy^{4=0, bir kez açıkça yazıldığında.}

Cebirsel denklemin önemli bir özelliği derecesidir. Denklemde meydana gelen terimlerin en büyük gücü olarak tanımlanır. Bir terim iki veya daha fazla değişkenden oluşuyorsa, her bir değişkenin üslerinin toplamı terimin gücü olarak alınacaktır. Bu tanıma göre P(x, y)=0'ın 5. dereceden olduğunu, Q(x, y, z)=0'ın ise 5. dereceden olduğunu gözlemleyin.

Doğrusal denklemler ve doğrusal olmayan denklemler, cebirsel denklemler kümesinde tanımlanan iki bölümlüdür. Denklemin derecesi onları birbirinden ayıran faktördür.

Doğrusal denklem nedir?

Doğrusal bir denklem, 1. dereceden bir cebirsel denklemdir. Örneğin, 4x + 5=0, tek değişkenli bir doğrusal denklemdir. x + y + 5z=0 ve 4x=3w + 5y + 7z sırasıyla 3 ve 4 değişkenli doğrusal denklemlerdir. Genel olarak, n değişkenli bir lineer denklem m₁x₁ + m₂x şeklinde olacaktır. ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Burada, x}i_{'lar bilinmeyen değişkenlerdir, m}i_{'lar ve b gerçek sayılardır, burada m}i'nin her biri _{sıfır değildir.}

Böyle bir denklem, n-boyutlu Öklid uzayında bir hiper düzlemi temsil eder. Özellikle, iki değişkenli bir lineer denklem, Kartezyen düzlemde bir düz çizgiyi temsil eder ve üç değişkenli bir lineer denklem, Öklid 3-uzayda bir düzlemi temsil eder.

Doğrusal olmayan denklem nedir?

İkinci dereceden bir denklem, doğrusal olmayan cebirsel bir denklemdir. Başka bir deyişle, doğrusal olmayan bir denklem, 2. derece veya daha yüksek bir cebirsel denklemdir. x² + 3x + 2=0, tek değişkenli doğrusal olmayan bir denklemdir. x² + y³+ 3xy=4 ve 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 sırasıyla 3 ve 4 değişkenli doğrusal olmayan denklem örnekleridir.}

İkinci dereceden doğrusal olmayan denkleme ikinci dereceden denklem denir. Derece 3 ise, buna kübik denklem denir.4. derece ve 5. derece denklemlere sırasıyla kuartik ve beşli denklemler denir. 5. dereceden herhangi bir doğrusal olmayan denklemi çözmek için analitik bir yöntemin olmadığı kanıtlanmıştır ve bu, herhangi bir yüksek derece için de geçerlidir. Çözülebilir doğrusal olmayan denklemler, hiper düzlem olmayan hiper yüzeyleri temsil eder.

Doğrusal denklem ile doğrusal olmayan denklem arasındaki fark nedir?

• Doğrusal bir denklem 1. dereceden cebirsel bir denklemdir, ancak doğrusal olmayan bir denklem 2. dereceden veya daha yüksek bir cebirsel denklemdir.

• Herhangi bir doğrusal denklem analitik olarak çözülebilir olsa da, doğrusal olmayan denklemlerde durum böyle değildir.

• n-boyutlu Öklid uzayında, n-değişkenli doğrusal denklemin çözüm uzayı bir hiper düzlemdir, n-değişkenli doğrusal olmayan bir denklemin çözüm uzayı ise hiper düzlem olmayan bir hiper yüzeydir. (Kuadrikler, kübik yüzeyler vb.)