Kardinal ve Sıralı
Günlük hayatımızda, sayıların kullanımı farklı durumlarda farklı biçimler alabilir. Örneğin, bir nesne koleksiyonunun boyutunu bulmak için saydığımızda, onları bir, iki, üç vb. olarak sayarız. Nesnelerin konumunu anlamak için bir şeyi saymak istediğimizde, onları birinci, ikinci, üçüncü vb. olarak sayarız. Saymanın ilk biçiminde, sayılara kardinal sayılar denir. İkinci sayma biçiminde sayılar sıra sayıları olarak kabul edilir. Bu bağlamda kardinal ve ordinal kavramları tamamen dilbilimin konusudur; kardinal ve ordinal sıfatlardır.
Ancak, kavramın matematikte kümelere genişletilmesi çok daha derin ve geniş bir bakış açısı ortaya çıkarır ve basit terimlerle ele alınamaz. Bu yazımızda, matematikte kardinal ve sıra sayıların temel kavramlarını anlamaya çalışacağız.
Temel ve sıra sayıların biçimsel tanımları küme teorisinde verilmektedir. Tanımlar karmaşıktır ve bunları tam anlamıyla anlamak, küme teorisinde arka plan bilgisi gerektirir. Bu nedenle kavramları buluşsal olarak anlamak için birkaç örneğe döneceğiz.
İki kümeyi {1, 3, 6, 4, 5, 2} ve {otobüs, araba, feribot, tren, uçak, helikopter} düşünün. Her küme bir öğe kümesini listeler ve öğelerin sayısını sayarsak, her birinin aynı sayıda öğeye sahip olduğu açıktır, bu da 6'dır. Bu sonuca vararak, bir kümenin boyutunu aldık ve bir sayı. Böyle bir sayıya kardinal sayı denir. Bu nedenle, bir kardinal sayının sonlu kümelerin boyutunu karşılaştırmak için kullanabileceğimiz bir sayı olduğunu söyleyebiliriz.
Yine, ilk sayı kümesi, her bir öğenin boyutu dikkate alınarak ve karşılaştırılarak artan düzende düzenlenebilir. Sipariş sürecinde sayılar kardinal olarak kabul edilir. Aynı şekilde, tüm negatif olmayan tam sayıların kümesi de bir kümede sıralanabilir; yani {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ancak bu durumda kümenin boyutu sonsuz olur ve onu sıra cinsinden vermek mümkün değildir. Kümenin boyutunu vermek için ne kadar büyük bir sayı seçerseniz seçin, yine de seçtiğiniz kümenin dışında kalan ve negatif olmayan tamsayılar olacaktır.
Bu nedenle matematikçiler bu sonsuz kardinali (ilk olan) Aleph-0 olarak tanımlarlar ve א (İbrani alfabesindeki ilk harf) olarak yazılırlar. Resmi olarak sıra numarası, iyi sıralanmış bir kümenin sıra türüdür. Bu nedenle, sonlu kümelerin sıra sayısı kardinal sayılarla verilebilir, ancak sonsuz kümeler için sıra, Aleph-0 gibi sonlu ötesi sayılarla verilir.
Kardinal ve Sıra Sayıları arasındaki fark nedir?
• Temel sayı, saymak veya sonlu sıralı bir kümenin boyutunu vermek için kullanılabilen bir sayıdır. Tüm kardinal sayılar sıra sayılarıdır.
• Sıra sayıları, hem sonlu hem de sonsuz sıralı kümelerin boyutunu vermek için kullanılan sayılardır. Sonlu sıralı kümelerin boyutu, olağan Hindu-Arap cebirsel sayılarla verilir ve sonsuz küme boyutu, sonlu sayılarla verilir.
