Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımı
İstatistiksel deneyler, bilinen bir dizi sonuçla süresiz olarak tekrarlanabilen rastgele deneylerdir. Hem rastgele değişkenler hem de olasılık dağılımları bu tür deneylerle ilişkilidir. Her rastgele değişken için, birikimli dağılım işlevi adı verilen bir işlev tarafından tanımlanan ilişkili bir olasılık dağılımı vardır.
Rastgele değişken nedir?
Rastgele değişken, istatistiksel bir deneyin sonuçlarına sayısal değerler atayan bir işlevdir. Başka bir deyişle, istatistiksel bir deneyin örnek uzayından gerçek sayılar kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.
Örneğin, iki kez yazı tura atma ile ilgili rastgele bir deney düşünün. Olası sonuçlar HH, HT, TH ve TT'dir (H – kafalar, T – masallar). X değişkeni deneyde gözlemlenen kafa sayısı olsun. Ardından X, 0, 1 veya 2 değerlerini alabilir ve rastgele bir değişkendir. Burada, X rastgele değişkeni, S={HH, HT, TH, TT} kümesini (örnek uzay) {0, 1, 2} kümesine, HH 2, HT ve TH ile eşlenecek şekilde eşler. 1 ile eşleştirilir ve TT 0 ile eşlenir. Fonksiyon notasyonunda bu, X: S → R şeklinde yazılabilir; burada X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ve X(TT)=0.
İki tür rasgele değişken vardır: ayrık ve sürekli, buna göre bir rasgele değişkenin alabileceği olası değerlerin sayısı en fazla sayılabilir veya sayılamaz. Önceki örnekte, {0, 1, 2} sonlu bir küme olduğundan, X rastgele değişkeni ayrık bir rastgele değişkendir. Şimdi, bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarını bulma istatistiksel deneyini düşünün. Y bir öğrencinin ağırlığı olarak tanımlanan rastgele değişken olsun. Y, belirli bir aralıktaki herhangi bir gerçek değeri alabilir. Dolayısıyla, Y sürekli bir rastgele değişkendir.
Olasılık dağılımı nedir?
Olasılık dağılımı, rastgele bir değişkenin belirli değerler alma olasılığını tanımlayan bir fonksiyondur.
Kümülatif dağılım fonksiyonu (F) olarak adlandırılan bir fonksiyon, reel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine F(x)=P(X ≤ x) şeklinde tanımlanabilir (X'in şundan küçük olma olasılığı veya x'e eşit) her olası sonuç için x. Şimdi ilk örnekteki X'in kümülatif dağılım fonksiyonu, eğer a<0 ise F(a)=0 olarak yazılabilir; 0≤a<1 ise F(a)=0.25; 1≤a<2 ise F(a)=0.75 ve a≥2 ise F(a)=1.
Ayrık rasgele değişkenler olması durumunda, olası sonuçlar kümesinden gerçek sayılar kümesine bir işlev, ƒ(x)=P(X=x) (X olasılığı x'e eşit olmak), her olası sonuç x için. Bu özel fonksiyon ƒ, rastgele değişken X'in olasılık kütle fonksiyonu olarak adlandırılır. Şimdi, X'in ilk özel örnekteki olasılık kütle fonksiyonu, aksi halde ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 ve ƒ(x)=0 olarak yazılabilir. Bu nedenle, kümülatif dağılım işleviyle birlikte olasılık kütle işlevi, ilk örnekte X'in olasılık dağılımını tanımlayacaktır.
Sürekli rastgele değişkenler durumunda, olasılık yoğunluk fonksiyonu (ƒ) olarak adlandırılan bir fonksiyon, her x için ƒ(x)=dF(x)/dx olarak tanımlanabilir; burada F, kümülatif dağılım fonksiyonudur. sürekli rastgele değişken. Bu fonksiyonun ∫ƒ(x)dx=1'i sağladığını görmek kolaydır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılım fonksiyonu ile birlikte sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını tanımlar. Örneğin, (sürekli bir olasılık dağılımı olan) normal dağılım, olasılık yoğunluk fonksiyonu ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) kullanılarak tanımlanır. µ)]2/(2σ2)).
Rastgele Değişkenler ile Olasılık Dağılımı arasındaki fark nedir?
• Rastgele değişken, bir örnek uzayın değerlerini gerçek bir sayıyla ilişkilendiren bir işlevdir.
• Olasılık dağılımı, rastgele bir değişkenin alabileceği değerleri ilgili oluşma olasılığıyla ilişkilendiren bir fonksiyondur.
