Olasılık Dağılım Fonksiyonu ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Olasılık, bir olayın olma olasılığıdır. Bu fikir çok yaygındır ve günlük yaşamda fırsatlarımızı, işlemlerimizi ve diğer birçok şeyi değerlendirirken sıklıkla kullanılır. Bu basit konsepti daha geniş bir olay kümesine genişletmek biraz daha zordur. Örneğin, bir piyangoyu kazanma şansını kolayca hesaplayamayız, ancak atılan bir zarın altıda biri olma olasılığının altıda biri olduğunu söylemek uygun, oldukça sezgiseldir.
Olabilecek olayların sayısı arttığında veya bireysel olasılıkların sayısı arttığında, bu oldukça basit olasılık fikri başarısız olur. Bu nedenle, daha karmaşık problemlere yaklaşmadan önce sağlam bir matematiksel tanım verilmelidir.
Tek bir durumda gerçekleşebilecek olay sayısı fazla olduğunda, atılan zar örneğindeki gibi her olayı ayrı ayrı ele almak imkansızdır. Bu nedenle, tüm olaylar dizisi, rastgele değişken kavramı tanıtılarak özetlenir. Belirli bir durumda (veya örnek uzayda) farklı olayların değerlerini alabilen bir değişkendir. Durumdaki basit olaylara matematiksel bir anlam ve olayı ele almanın matematiksel bir yolunu verir. Daha kesin olarak, bir rastgele değişken, örnek uzayın elemanları üzerinde gerçek bir değer fonksiyonudur. Rastgele değişkenler ayrık veya sürekli olabilir. Genellikle İngiliz alfabesinin büyük harfleriyle gösterilirler.
Olasılık dağılımı işlevi (veya basitçe, olasılık dağılımı), her olay için olasılık değerleri atayan bir işlevdir; yani, rastgele değişkenin alabileceği değerler için olasılıklarla bir ilişki sağlar. Olasılık dağılım fonksiyonu kesikli rastgele değişkenler için tanımlanır.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu, sürekli rastgele değişkenler için olasılık dağılım fonksiyonunun eşdeğeridir, belirli bir rastgele değişkenin belirli bir değer alma olasılığını verir.
X kesikli bir rastgele değişken ise, X aralığındaki her x için f (x)=P (X=x) olarak verilen fonksiyona olasılık dağılım fonksiyonu denir. Bir fonksiyon, ancak ve ancak aşağıdaki koşulları sağlıyorsa olasılık dağılım fonksiyonu olarak hizmet edebilir.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bir f(x) fonksiyonuna, X sürekli rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir, ancak ve ancak, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx herhangi bir gerçek sabit a ve b için.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki koşulları da sağlamalıdır.
1. f (x) ≥ tüm x için 0: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Hem olasılık dağılım fonksiyonu hem de olasılık yoğunluk fonksiyonu, olasılıkların örnek uzay üzerindeki dağılımını temsil etmek için kullanılır. Genellikle bunlara olasılık dağılımları denir.
İstatistiksel modelleme için standart olasılık yoğunluk fonksiyonları ve olasılık dağılım fonksiyonları türetilir. Normal dağılım ve standart normal dağılım, sürekli olasılık dağılımlarına örnektir. Binom dağılımı ve Poisson dağılımı, ayrık olasılık dağılımlarının örnekleridir.
Olasılık Dağılımı ile Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu arasındaki fark nedir?
• Olasılık dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir öğeye ilgili olasılık değerini atamak için örnek uzay üzerinde tanımlanan fonksiyonlardır.
• Kesikli rastgele değişkenler için olasılık dağılım fonksiyonları tanımlanırken, sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonları tanımlanır.
• Olasılık değerlerinin dağılımı (yani olasılık dağılımları) en iyi olasılık yoğunluk fonksiyonu ve olasılık dağılım fonksiyonu ile gösterilir.
• Olasılık dağılımı işlevi bir tabloda değerler olarak gösterilebilir, ancak değişken sürekli olduğu için olasılık yoğunluk işlevi için bu mümkün değildir.
• Çizildiğinde, olasılık dağılımı işlevi bir çubuk grafiği verirken, olasılık yoğunluğu işlevi bir eğri verir.
• Olasılık dağılım fonksiyonunun çubuklarının yüksekliği/uzunluğu 1'e eklenmeli, olasılık yoğunluk fonksiyonunun eğrisinin altındaki alan 1'e eklemelidir.
• Her iki durumda da, işlevin tüm değerleri negatif olmamalıdır.
