Güç Serisi ve Taylor Serisi
Matematikte gerçek bir dizi, gerçek sayıların sıralı bir listesidir. Biçimsel olarak, doğal sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine bir fonksiyondur. Birn bir dizinin nth terimiyse, diziyi bir 1 ile veya ile gösteririz, a 2, …, an, …. Örneğin, 1, ½, ⅓, …, 1 dizisini düşünün / n, …. {1/n} olarak gösterilebilir.
Dizileri kullanarak bir dizi tanımlamak mümkündür. Bir dizi, bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bu nedenle, her dizi için ilişkili bir dizi vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Eğer {an} söz konusu diziyse, o dizi tarafından oluşturulan dizi şu şekilde temsil edilebilir:
Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte, ilişkili seri 1+1/2+1 şeklindedir. /3+ … + 1/ n + ….
Adından da anlaşılacağı gibi, kuvvet serisi özel bir seri türüdür ve Sayısal Analiz ve ilgili matematiksel modellemede yaygın olarak kullanılır. Taylor serisi, iyi bilinen fonksiyonları temsil etmenin alternatif ve işlenmesi kolay bir yolunu sağlayan özel bir kuvvet serisidir.
Güç serisi nedir?
Bir kuvvet serisi, bir form dizisidir
c merkezli bir aralık için yakınsak (muhtemelen). ankatsayıları gerçek veya karmaşık sayılar olabilir ve x'ten bağımsızdır; yani kukla değişken.
Örneğin, her n için an=1 ve c=0 ayarlayarak, kuvvet serisi 1+x+x2 +…..+ x+… elde edilir. x ε (-1, 1) olduğunda bu kuvvet serisinin 1/(1-x) değerine yakınsadığını gözlemlemek kolaydır.
X=c olduğunda bir kuvvet serisi yakınsar. Kuvvet serilerinin yakınsadığı diğer x değerleri her zaman c merkezli bir açık aralık şeklini alacaktır. Yani, |x-c|≤ R'yi sağlayan her x için, kuvvet serisi yakınsak olacak ve |x-c|> R'yi sağlayan her x için, kuvvet serisi ıraksak olacak şekilde 0≤ R ≤ ∞ değeri olacaktır. Bu R değerine, kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı denir (R, herhangi bir gerçek değeri veya pozitif sonsuzu alabilir).
Güç serileri aşağıdaki kurallar kullanılarak toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. İki güç serisini düşünün:
Sonra,
yani gibi terimler toplanır veya çıkarılır. Ayrıca,özdeşliğini kullanarak iki kuvvet serisini çarpmak ve bölmek mümkündür.
Taylor serisi nedir?
Taylor serisi, bir aralıkta sonsuz türevli olan bir f (x) fonksiyonu için tanımlanır. f(x)'in c merkezli bir aralıkta türevlenebilir olduğunu varsayın. Ardındanile verilen kuvvet serisi
f (x) fonksiyonunun c'ye göre Taylor serisi açılımı denir. (Burada f(n) (c), x=c'de nth türevi gösterir). Sayısal Analizde, serinin orijinal fonksiyona yakınsadığı noktalarda değerlerin hesaplanmasında bu sonsuz genişlemede sonlu sayıda terim kullanılır.
A f (x) fonksiyonunun (a, b) aralığında analitik olduğu söylenir, eğer her x ε (a, b) için, f (x)'in Taylor serisi f fonksiyonuna yakınsarsa (x). Örneğin, 1/(1-x) (-1, 1) üzerinde analitiktir, çünkü Taylor açılımı 1+x+x2+….+ x +… bu aralıktaki fonksiyona yakınsar ve ex her yerde analitiktir, çünkü ex Taylor serisi e ile yakınsar x her gerçek sayı için x.
Power serisi ile Taylor serisi arasındaki fark nedir?
1. Taylor serisi, yalnızca bazı açık aralıklarda sonsuz türevli fonksiyonlar için tanımlanan özel bir kuvvet serisi sınıfıdır.
2. Taylor serisi özel formu alır
oysa, bir kuvvet serisi şu şekildeki herhangi bir seri olabilir
