Doğrusal Denklem ile İkinci Dereceden Denklem Arasındaki Fark

2024 Yazar: Alex Aldridge | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 13:52

Doğrusal Denklem ve İkinci Dereceden Denklem

Matematikte cebirsel denklemler, polinomlar kullanılarak oluşturulan denklemlerdir. Açıkça yazıldığında denklemler P(x)=0 biçiminde olacaktır, burada x n bilinmeyen değişkenin bir vektörüdür ve P bir polinomdur. Örneğin, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0, açıkça yazılmış iki değişkenin cebirsel bir denklemidir. Ayrıca, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ cebirsel bir denklemdir, ama örtük biçimde. Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² şeklinde olacaktır. +3zy^{4=0, bir kez açıkça yazıldığında.}

Cebirsel denklemin önemli bir özelliği derecesidir. Denklemde meydana gelen terimlerin en büyük gücü olarak tanımlanır. Bir terim iki veya daha fazla değişkenden oluşuyorsa, her bir değişkenin üslerinin toplamı terimin gücü olarak alınacaktır. Bu tanıma göre P(x, y)=0'ın 4. dereceden olduğunu, Q(x, y, z)=0'ın ise 5. dereceden olduğunu gözlemleyin.

Doğrusal denklemler ve ikinci dereceden denklemler, iki farklı cebirsel denklem türüdür. Denklemin derecesi, onları diğer cebirsel denklemlerden ayıran faktördür.

Doğrusal denklem nedir?

Doğrusal bir denklem, 1. dereceden bir cebirsel denklemdir. Örneğin, 4x + 5=0, tek değişkenli bir doğrusal denklemdir. x + y + 5z=0 ve 4x=3w + 5y + 7z sırasıyla 3 ve 4 değişkenli doğrusal denklemlerdir. Genel olarak, n değişkenli bir lineer denklem m₁x₁+m şeklinde olacaktır. 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Burada, x_i'lar bilinmeyen değişkenlerdir, m_i'lar ve b gerçek sayılardır, burada m_{i'nin her biri} sıfır değildir.

Böyle bir denklem, n-boyutlu Öklid uzayında bir hiper düzlemi temsil eder. Özellikle, iki değişkenli bir lineer denklem, Kartezyen düzlemde bir düz çizgiyi temsil eder ve üç değişkenli bir lineer denklem, Öklid 3-uzayda bir düzlemi temsil eder.

İkinci dereceden denklem nedir?

İkinci dereceden bir denklem, ikinci dereceden bir cebirsel denklemdir. x² + 3x + 2=0, tek değişkenli ikinci dereceden bir denklemdir. x² + y² + 3x=4 ve 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 sırasıyla 2 ve 3 değişkenli ikinci dereceden denklem örnekleridir.}

Tek değişkenli durumda, ikinci dereceden bir denklemin genel biçimi ax² + bx + c=0'dır. Burada a, b, c gerçek sayılardır. 'a' sıfır değildir. Diskriminant ∆=(b^{2 – 4ac) ikinci dereceden denklemin köklerinin doğasını belirler.∆ pozitif, sıfır ve negatif olduğuna göre denklemin kökleri gerçek farklı, gerçek benzer ve karmaşık olacaktır. Denklemin kökleri, x=(- b ± √∆) / 2a. formülü kullanılarak kolayca bulunabilir.}

İki değişkenli durumda, genel form ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=olur 0 ve bu Kartezyen düzlemde bir koniği (parabol, hiperbol veya elips) temsil eder. Daha yüksek boyutlarda, bu tür denklemler, kuadrikler olarak bilinen hiper yüzeyleri temsil eder.}

Doğrusal ve ikinci dereceden denklemler arasındaki fark nedir?

• Doğrusal bir denklem, 1. dereceden bir cebirsel denklemdir, oysa ikinci dereceden bir denklem, 2. dereceden bir cebirsel denklemdir.

• n-boyutlu Öklid uzayında, n-değişkenli bir lineer denklemin çözüm uzayı bir hiper düzlemdir, n-değişkenli bir ikinci dereceden denkleminki ise ikinci dereceden bir yüzeydir.