Ortogonal vs Ortonormal
Matematikte, ortogonal ve ortonormal iki kelime, bir dizi vektörle birlikte sıklıkla kullanılır. Burada, 'vektör' terimi, bir vektör uzayının bir öğesi olduğu anlamında kullanılır - lineer cebirde kullanılan bir cebirsel yapı. Tartışmamız için, bir iç çarpım uzayını ele alacağız – V. üzerinde tanımlanan bir iç çarpım ile birlikte bir vektör uzayı V.
Örnek olarak, bir iç çarpım için uzay, normal nokta çarpımı ile birlikte tüm 3 boyutlu konum vektörlerinin kümesidir.
Ortogonal nedir?
V iç çarpım uzayının boş olmayan bir S altkümesinin dik olduğu söylenir, ancak ve ancak her farklı u için, S'de v, [u, v]=0 ise; yani, u ve v'nin iç çarpımı, iç çarpım uzayındaki sıfır skalere eşittir.
Örneğin, tüm 3 boyutlu konum vektörleri kümesinde, bu, S'deki p ve q konum vektörlerinin her bir farklı çifti için, p ve q'nun birbirine dik olduğunu söylemeye eşdeğerdir. (Bu vektör uzayındaki iç çarpımın nokta çarpım olduğunu unutmayın. Ayrıca, iki vektörün nokta çarpımı ancak ve ancak iki vektör birbirine dik ise 0'a eşittir.)
3 boyutlu konum vektörlerinin bir alt kümesi olan S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} kümesini göz önünde bulundurun. (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0) olduğunu gözlemleyin, 5)=0. Dolayısıyla, S kümesi diktir. Özellikle, iç çarpımları 0 ise iki vektörün ortogonal olduğu söylenir. Bu nedenle, Sis ortogonalindeki her bir vektör çifti.
Ortonormal nedir?
Bir iç çarpım uzayı V'nin boş olmayan bir S altkümesine, ancak ve ancak S ortogonal ise ve S'deki her u vektörü için [u, u]=1 ise ortonormal olduğu söylenir. her ortonormal küme ortogonaldir ancak tersi değildir.
Örneğin, tüm 3 boyutlu konum vektörleri kümesinde, bu, S'deki p ve q konum vektörlerinin her bir farklı çifti için, p ve q'nun birbirine dik olduğunu söylemeye eşdeğerdir. S'de her p, |p|=1. Bunun nedeni, [p, p]=1 koşulunun |p'ye eşdeğer olan p.p=|p||p|cos0=|p|2=1'e indirgenmesidir. |=1. Bu nedenle, verilen bir ortogonal küme, her vektörü büyüklüğüne bölerek her zaman karşılık gelen bir ortonormal küme oluşturabiliriz.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)}, tüm 3 boyutlu konum vektörlerinin kümesinin ortonormal bir alt kümesidir. S kümesindeki vektörlerin her birinin büyüklüklerine bölünmesiyle elde edildiğini görmek kolaydır.
Ortogonal ve ortonormal arasındaki fark nedir?
- Bir iç çarpım uzayı V'nin boş olmayan bir S altkümesinin dik olduğu söylenir, ancak ve ancak her farklı u için, S'de v, [u, v]=0 ise. Ancak, eğer ve ve yalnızca ek bir koşul varsa – S'deki her u vektörü için [u, u]=1 sağlanır.
- Herhangi bir ortonormal küme ortogonaldir ancak tersi değildir.
- Herhangi bir ortogonal küme benzersiz bir ortonormal kümeye karşılık gelir, ancak bir ortonormal küme birçok ortogonal kümeye karşılık gelebilir.
