Paralelogram ve Dikdörtgen
Paralelkenar ve dikdörtgen dörtgendir. Bu figürlerin geometrisi binlerce yıldır insan tarafından biliniyordu. Konu, Yunan matematikçi Euclid tarafından yazılan “Elements” kitabında açıkça işlenmiştir.
Paralelkenar
Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel dört kenarı olan geometrik şekil olarak tanımlanabilir. Daha doğrusu, iki çift paralel kenarı olan bir dörtgendir. Bu paralel yapı, paralelkenarlara birçok geometrik özellik verir.
Bir dörtgen, aşağıdaki geometrik özellikler bulunursa bir paralelkenardır.
• İki çift karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. (AB=DC, AD=BC)
• İki çift karşıt açının boyutu eşittir. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateks])
• Bitişik açılar tümler ise [lateks]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateks]
• Birbirine zıt olan bir çift kenar paralel ve uzunlukları eşittir. (AB=DC ve AB∥DC)
• Köşegenler birbirini ortalar (AO=OC, BO=OD)
• Her köşegen, dörtgeni iki eş üçgene böler. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ayrıca, kenarların karelerinin toplamı köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir. Buna bazen paralelkenar yasası denir ve fizik ve mühendislikte yaygın uygulamaları vardır. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Yukarıdaki özelliklerin her biri, dörtgenin bir paralelkenar olduğu belirlendikten sonra, özellik olarak kullanılabilir.
Paralelkenarın alanı, bir kenarın uzunluğu ile karşı kenarın yüksekliğinin çarpımı ile hesaplanabilir. Bu nedenle paralelkenarın alanı olarak ifade edilebilir.
Paralelkenarın alanı=taban × yükseklik=AB×h
Paralelkenarın alanı, bireysel paralelkenarın şeklinden bağımsızdır. Yalnızca tabanın uzunluğuna ve dikey yüksekliğe bağlıdır.
Bir paralelkenarın kenarları iki vektörle temsil edilebiliyorsa, alan iki bitişik vektörün vektör çarpımının (çapraz çarpım) büyüklüğü ile elde edilebilir.
AB ve AD kenarları sırasıyla ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ve ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektörleriyle temsil ediliyorsa, paralelkenar [lateks]\sol | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} sağ |=AB\cdot AD \sin \alpha [/lateks], burada α, [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] ve [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex] arasındaki açıdır.
Aşağıda paralelkenarın bazı gelişmiş özellikleri verilmiştir;
• Paralelkenarın alanı, köşegenlerinden herhangi biri tarafından oluşturulan bir üçgenin alanının iki katıdır.
• Paralelkenarın alanı, orta noktadan geçen herhangi bir doğru tarafından ikiye bölünür.
• Herhangi bir dejenere olmayan afin dönüşüm, bir paralelkenarı başka bir paralelkenara götürür
• Bir paralelkenar 2 mertebesinde dönme simetrisine sahiptir
• Bir paralelkenarın herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıklarının toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır
Dikdörtgen
Dört dik açısı olan bir dörtgen, dikdörtgen olarak bilinir. Herhangi iki bitişik kenar arasındaki açıların dik açı olduğu paralelkenarın özel bir durumudur.
Bir paralelkenarın tüm özelliklerine ek olarak, dikdörtgenin geometrisi göz önüne alındığında ek özellikler tanınabilir.
• Köşelerdeki her açı bir dik açıdır.
• Köşegenlerin uzunluğu eşittir ve birbirlerini ortalarlar. Bu nedenle, ikiye bölünmüş bölümlerin uzunluğu da eşittir.
• Köşegenlerin uzunluğu Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Alan formülü uzunluk ve genişliğin çarpımına indirgenir.
Dikdörtgenin alanı=uzunluk × genişlik
• Bir dikdörtgende birçok simetrik özellik bulunur, örneğin;
– Bir dikdörtgen, tüm köşelerin bir dairenin çevresine yerleştirilebildiği döngüseldir.
– Tüm açıların eşit olduğu eşkenardır.
– Tüm köşelerin aynı simetri yörüngesinde yer aldığı izogonaldir.
– Hem yansıma simetrisine hem de dönme simetrisine sahiptir.
Paralelkenar ve Dikdörtgen arasındaki fark nedir?
• Paralelkenar ve dikdörtgen dörtgendir. Dikdörtgen paralelkenarların özel bir halidir.
• Herhangi birinin alanı ×yükseklik formülü kullanılarak hesaplanabilir.
• Köşegenleri göz önünde bulundurarak;
– Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar ve paralelkenarı ikiye bölerek iki eş üçgen oluşturur.
– Dikdörtgenin köşegenlerinin uzunluğu eşittir ve birbirini ortalar; bölünmüş bölümlerin uzunluğu eşittir. Köşegenler dikdörtgeni iki eş dik üçgene böler.
• İç açıları göz önünde bulundurarak;
– Paralelkenarın karşılıklı iç açılarının boyutu eşittir. İki bitişik iç açı tümler
– Dikdörtgenin dört iç açısı da dik açıdır.
• Tarafları göz önünde bulundurarak;
– Bir paralelkenarda, kenarların karelerinin toplamı köşegenin karelerinin toplamına eşittir (Paralelkenar kanunu)
– Dikdörtgenlerde, iki bitişik kenarın karelerinin toplamı, uçlardaki köşegenin karesine eşittir. (Pisagor Kuralı)
