Dikdörtgen ve Eşkenar Dörtgen
Eşkenar dörtgen ve dikdörtgen dörtgendir. Bu figürlerin geometrisi binlerce yıldır insan tarafından biliniyordu. Konu, Yunan matematikçi Euclid tarafından yazılan “Elements” kitabında açıkça işlenmiştir.
Paralelkenar
Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel dört kenarı olan geometrik şekil olarak tanımlanabilir. Daha doğrusu, iki çift paralel kenarı olan bir dörtgendir. Bu paralel yapı, paralelkenarlara birçok geometrik özellik verir.
Bir dörtgen, aşağıdaki geometrik özellikler bulunursa bir paralelkenardır.
• İki çift karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. (AB=DC, AD=BC)
• İki çift karşıt açının boyutu eşittir. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateks])
• Bitişik açılar tümler ise [lateks]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateks]
• Birbirine zıt olan bir çift kenar paralel ve uzunlukları eşittir. (AB=DC ve AB∥DC)
• Köşegenler birbirini ortalar (AO=OC, BO=OD)
• Her köşegen, dörtgeni iki eş üçgene böler. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ayrıca, kenarların karelerinin toplamı köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir. Buna bazen paralelkenar yasası denir ve fizik ve mühendislikte yaygın uygulamaları vardır. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Yukarıdaki özelliklerin her biri, dörtgenin bir paralelkenar olduğu belirlendikten sonra, özellik olarak kullanılabilir.
Paralelkenarın alanı, bir kenarın uzunluğu ile karşı kenarın yüksekliğinin çarpımı ile hesaplanabilir. Bu nedenle paralelkenarın alanı olarak ifade edilebilir.
Paralelkenarın alanı=taban × yükseklik=AB×h
Paralelkenarın alanı, bireysel paralelkenarın şeklinden bağımsızdır. Yalnızca tabanın uzunluğuna ve dikey yüksekliğe bağlıdır.
Bir paralelkenarın kenarları iki vektörle temsil edilebiliyorsa, alan iki bitişik vektörün vektör çarpımının (çapraz çarpım) büyüklüğü ile elde edilebilir.
AB ve AD kenarları sırasıyla ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ve ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektörleriyle temsil ediliyorsa, paralelkenar [lateks]\sol | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} sağ |=AB\cdot AD \sin \alpha [/lateks], burada α, [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] ve [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex] arasındaki açıdır.
Aşağıda paralelkenarın bazı gelişmiş özellikleri verilmiştir;
• Paralelkenarın alanı, köşegenlerinden herhangi biri tarafından oluşturulan bir üçgenin alanının iki katıdır.
• Paralelkenarın alanı, orta noktadan geçen herhangi bir doğru tarafından ikiye bölünür.
• Herhangi bir dejenere olmayan afin dönüşüm, bir paralelkenarı başka bir paralelkenara götürür
• Bir paralelkenar 2 mertebesinde dönme simetrisine sahiptir
• Bir paralelkenarın herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıklarının toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır
Dikdörtgen
Dört dik açısı olan bir dörtgen, dikdörtgen olarak bilinir. Herhangi iki bitişik kenar arasındaki açıların dik açı olduğu paralelkenarın özel bir durumudur.
Bir paralelkenarın tüm özelliklerine ek olarak, dikdörtgenin geometrisi göz önüne alındığında ek özellikler tanınabilir.
• Köşelerdeki her açı bir dik açıdır.
• Köşegenlerin uzunluğu eşittir ve birbirlerini ortalarlar. Bu nedenle, ikiye bölünmüş bölümlerin uzunluğu da eşittir.
• Köşegenlerin uzunluğu Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Alan formülü uzunluk ve genişliğin çarpımına indirgenir.
Dikdörtgenin alanı=uzunluk × genişlik
• Bir dikdörtgende birçok simetrik özellik bulunur, örneğin;
– Bir dikdörtgen, tüm köşelerin bir dairenin çevresine yerleştirilebildiği döngüseldir.
– Tüm açıların eşit olduğu eşkenardır.
– Tüm köşelerin aynı simetri yörüngesinde yer aldığı izogonaldir.
– Hem yansıma simetrisine hem de dönme simetrisine sahiptir.
Rhombus
Tüm kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen eşkenar dörtgen olarak bilinir. Eşkenar dörtgen olarak da adlandırılır. Oyun kartlarındakine benzer bir elmas şekline sahip olduğu kabul edilir.
Rhombus aynı zamanda paralelkenarın özel bir halidir. Dört kenarı da eşit olan bir paralelkenar olarak düşünülebilir. Ve paralelkenarın özelliklerine ek olarak aşağıdaki özel özelliklere sahiptir.
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik açılarda ortalar; köşegenler diktir.
• Köşegenler iki zıt iç açıyı ikiye böler.
• Bitişik kenarların en az ikisinin uzunluğu eşittir.
Eşkenar dörtgenin alanı paralelkenarla aynı yöntemle hesaplanabilir.
Rhombus ve Dikdörtgen arasındaki fark nedir?
• Eşkenar dörtgen ve dikdörtgen dörtgendir. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarların özel durumlarıdır.
• Herhangi birinin alanı ×yükseklik formülü kullanılarak hesaplanabilir.
• Köşegenleri göz önünde bulundurarak;
– Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik açılarla ortalar ve oluşan üçgenler eşkenardır.
– Dikdörtgenin köşegenlerinin uzunluğu eşittir ve birbirini ortalar; bölünmüş bölümlerin uzunluğu eşittir. Köşegenler dikdörtgeni iki eş dik üçgene böler.
• İç açıları göz önünde bulundurarak;
– Eşkenar dörtgenin iç açıları köşegenlerle ikiye bölünür
– Dikdörtgenin dört iç açısı da dik açıdır.
• Tarafları göz önünde bulundurarak;
– Bir eşkenar dörtgende dört kenar da eşit olduğundan, bir kenarın karesinin dört katı, köşegenin karelerinin toplamına eşittir (Paralelkenar Yasasını kullanarak)
– Dikdörtgenlerde, iki bitişik kenarın karelerinin toplamı, uçlardaki köşegenin karesine eşittir. (Pisagor Kuralı)
