Entegrasyon ve Farklılaşma
Entegrasyon ve Farklılaşma, değişimi inceleyen analizde iki temel kavramdır. Calculus, bilim, ekonomi veya finans, mühendislik ve benzeri birçok alanda çok çeşitli uygulamalara sahiptir.
Farklılaştırma
Farklılaştırma, türevleri hesaplamanın cebirsel prosedürüdür. Bir fonksiyonun türevi, herhangi bir noktadaki eğrinin (grafik) eğimi veya gradyanıdır. Bir eğrinin herhangi bir noktadaki gradyanı, o eğriye verilen noktada çizilen teğetin gradyanıdır. Doğrusal olmayan eğriler için, eğrinin eğimi eksen boyunca farklı noktalarda değişebilir. Bu nedenle, herhangi bir noktada gradyan veya eğimi hesaplamak zordur. Türev alma işlemi, herhangi bir noktadaki eğrinin gradyanını hesaplamada faydalıdır.
Türevin diğer bir tanımı, "bir özelliğin başka bir özelliğin birim değişikliğine göre değişmesidir."
f(x), x bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu olsun. Eğer x bağımsız değişkeninde küçük bir değişime (∆x) neden olunursa, f(x) fonksiyonunda karşılık gelen bir ∆f(x) değişikliğine neden olunur; o zaman ∆f(x)/∆x oranı f(x)'in x'e göre değişim hızının bir ölçüsüdür. Bu oranın limit değeri, ∆x sıfıra eğilimli olduğundan, lim∆x→0(f(x)/∆x) f(x) fonksiyonunun birinci türevi olarak adlandırılır., x'e göre; başka bir deyişle, verilen bir x noktasında f(x)'in anlık değişimi.
Entegrasyon
Entegrasyon, belirli integrali veya belirsiz integrali hesaplama işlemidir. Gerçek bir f(x) fonksiyonu ve reel doğru üzerinde kapalı bir [a, b] aralığı için, belirli integral, a∫b f(x), fonksiyonun grafiği, yatay eksen ve bir aralığın uç noktalarındaki iki dikey çizgi arasındaki alan olarak tanımlanır. Belirli bir aralık verilmediğinde, belirsiz integral olarak bilinir. Belirli bir integral, anti-türevler kullanılarak hesaplanabilir.
Entegrasyon ve Farklılaşma arasındaki fark nedir?
Entegrasyon ve farklılaşma arasındaki fark, "kare alma" ve "kare kökü alma" arasındaki farka benzer. Pozitif bir sayının karesini alır ve sonucun karekökünü alırsak, pozitif karekök değeri, karesini aldığınız sayı olacaktır. Benzer şekilde, sürekli bir f(x) fonksiyonunun türevini alarak elde ettiğiniz sonuca integrali uygularsanız, orijinal fonksiyona geri döner ve bunun tersi de geçerlidir.
Örneğin, F(x), f(x)=x fonksiyonunun integrali olsun, bu nedenle, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, burada c isteğe bağlı bir sabittir. F(x)'in x'e göre türevini alırken, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x elde ederiz, bu nedenle F(x)'in türevi f('ye eşittir. x).
Özet
– Diferansiyel, bir eğrinin eğimini hesaplarken, entegrasyon eğrinin altındaki alanı hesaplar.
– Entegrasyon, farklılaşmanın tersidir ve bunun tersi de geçerlidir.
