Riemann İntegrali ile Lebesgue İntegrali Arasındaki Fark

2024 Yazar: Alex Aldridge | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 13:52

Riemann İntegrali vs Lebesgue İntegrali

Entegrasyon, matematiğin ana konularından biridir. Daha geniş bir anlamda entegrasyon, farklılaşmanın tersi bir süreç olarak görülebilir. Gerçek dünya problemlerini modellerken türevleri içeren ifadeler yazmak kolaydır. Böyle bir durumda, belirli türevi veren fonksiyonu bulmak için integrasyon işlemi gereklidir.

Başka bir açıdan entegrasyon, ƒ(x) ve δx fonksiyonunun çarpımını toplayan bir süreçtir, burada δx belirli bir limit olma eğilimindedir. Bu yüzden integrasyon sembolünü ∫ olarak kullanıyoruz. ∫ sembolü aslında, toplamı ifade etmek için s harfini uzatarak elde ettiğimiz şeydir.

Riemann İntegrali

Bir y=ƒ(x) fonksiyonu düşünün. a ve b'nin x kümesine ait olduğu a ve b arasındaki y'nin integrali _b ∫ ^a ƒ(x) dx olarak yazılır=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Buna a ve b arasında tek değerli ve sürekli y=ƒ(x) fonksiyonunun belirli bir integrali denir. Bu, a ve b arasındaki eğrinin altındaki alanı verir. Buna Riemann integrali de denir. Riemann integrali Bernhard Riemann tarafından oluşturuldu. Sürekli bir fonksiyonun Riemann integrali Jordan ölçüsüne dayanır, bu nedenle fonksiyonun Riemann toplamlarının limiti olarak da tanımlanır. Kapalı bir aralıkta tanımlanan gerçek değerli bir fonksiyon için, fonksiyonun x₁, x₂, …, x bölümüne göre Riemann integrali n _{[a, b] ve t}1_{, t}2_{, …, t aralığında tanımlı n}, burada x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 için her i ε {1, 2, …, n}, Riemann toplamı Σ_{i=o to n-1} ƒ(t_i olarak tanımlanır)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue İntegrali

Lebesgue, Riemann integralinden çok çeşitli durumları kapsayan başka bir integral türüdür. Lebesgue integrali Henri Lebesgue tarafından 1902'de tanıtıldı. Legesgue entegrasyonu, Riemann entegrasyonunun bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Neden başka bir integral çalışmamız gerekiyor?

Bir karakteristik fonksiyonu ele alalım ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x değil ε A}^{1 eğer, x ε A}bir A kümesinde. Daha sonra F (x)=Σ a_{i olarak tanımlanan karakteristik fonksiyonların sonlu lineer kombinasyonu E} i _{her i için ölçülebilirse, ƒ E} i_{(x) basit fonksiyon olarak adlandırılır. F (x) bölü E'nin Lebesgue integrali} E_{∫ ƒ(x)dx ile gösterilir. F(x) fonksiyonu Riemann ile integrallenebilir değildir. Bu nedenle Lebesgue integrali, entegre edilecek fonksiyonlar üzerinde bazı kısıtlamalara sahip olan Riemann integralinin yeniden ifade edilmesidir.}

Riemann Integral ile Lebesgue Integral arasındaki fark nedir?

· Lebesgue integrali, Riemann integralinin bir genelleme şeklidir.

· Lebesgue integrali sayılabilir sonsuz sayıda süreksizliğe izin verirken, Riemann integrali sonlu sayıda süreksizliğe izin verir.