Aritmetik ve Geometrik Seriler
Bir dizinin matematiksel tanımı, dizilerle yakından ilişkilidir. Bir dizi, sıralı bir sayı kümesidir ve sonlu veya sonsuz bir küme olabilir. İki öğe arasındaki farkı sabit olan bir sayı dizisi, aritmetik bir ilerleme olarak bilinir. Ardışık iki sayının sabit bir bölümü olan bir dizi, geometrik bir ilerleme olarak bilinir. Bu ilerlemeler sonlu veya sonsuz olabilir ve eğer sonluysa terimlerin sayısı sayılabilir, yoksa sayılamaz.
Genel olarak, bir ilerlemedeki öğelerin toplamı bir dizi olarak tanımlanabilir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamı, aritmetik bir dizi olarak bilinir. Benzer şekilde, bir geometrik ilerlemenin toplamı da geometrik dizi olarak bilinir.
Aritmetik Diziler hakkında daha fazla bilgi
Bir aritmetik dizide, ardışık terimler arasında sabit bir fark vardır.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; burada a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, vb.
Bu d farkı ortak fark olarak bilinir ve nth terimi an =a ile verilir 1+ (n-1)d; burada a1 ilk terimdir.
Serinin davranışı ortak farka göre değişir d. Ortak fark pozitifse ilerleme pozitif sonsuz olma eğilimindedir ve ortak fark negatifse negatif sonsuzluğa yönelir.
Serinin toplamı, ilk olarak Hintli astronom ve matematikçi Aryabhata tarafından geliştirilen aşağıdaki basit formülle elde edilebilir.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Sn toplamı, terim sayısına bağlı olarak sonlu veya sonsuz olabilir.
Geometrik Seriler hakkında daha fazla bilgi
Geometrik dizi, ardışık sayıların bölümü sabit olan bir dizidir. Sahip olduğu özelliklerden dolayı dizinin incelemesinde bulunan önemli bir dizidir.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
r oranına bağlı olarak, serinin davranışı aşağıdaki gibi kategorize edilebilir. r={|r|≥1 serisi ıraksar; r≤1 serisi yakınsar}. Ayrıca, r<0 seri salınım yapıyorsa, yani serinin alternatif değerleri vardır.
Geometrik serilerin toplamı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir. Sn =a(1-r) / (1-r); burada a başlangıç terimidir ve r orandır. Eğer oran r≤1 ise seri yakınsar. Sonsuz bir seri için yakınsama değeri Sn=a / (1-r) ile verilir.
Geometrik seriler, fizik bilimleri, mühendislik ve ekonomi alanlarında sayısız uygulamaya sahiptir
Aritmetik ve Geometrik Seri arasındaki fark nedir?
• Aritmetik dizi, iki bitişik terim arasında sabit farkı olan bir dizidir.
• Geometrik dizi, ardışık iki terim arasında sabit bir bölümü olan bir dizidir.
• Tüm sonsuz aritmetik seriler her zaman ıraksaktır, ancak orana bağlı olarak geometrik seriler yakınsak veya ıraksak olabilir.
• Geometrik serilerde değerlerde salınım olabilir; yani, sayılar alternatif olarak işaretlerini değiştirir, ancak aritmetik serilerin salınımları olamaz.
