Aritmetik Dizi ve Geometrik Dizi
Sayıların kalıpları ve davranışları üzerine yapılan çalışma, matematik alanında önemli bir çalışmadır. Genellikle bu kalıplar doğada görülebilir ve davranışlarını bilimsel bir bakış açısıyla açıklamamıza yardımcı olur. Aritmetik diziler ve Geometrik diziler, sayılarda meydana gelen ve genellikle doğal olaylarda bulunan temel kalıplardan ikisidir.
Sıra, sıralı sayılar kümesidir. Dizideki öğelerin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.
Aritmetik Dizi (Aritmetrik İlerleme) hakkında daha fazla bilgi
Bir aritmetik dizi, her ardışık terim arasında sabit bir fark olan bir sayı dizisi olarak tanımlanır. Aritmetik ilerleme olarak da bilinir.
Aritmetik Dizi ⇒ a1, a2, a3, a4 , …, an; burada a2 =a1 + d, a3 =a2+ d, vb.
Başlangıç terimi a1 ise ve ortak fark d ise, dizinin nth terimi şu şekilde verilir;
an =a1 + (n-1)d
Yukarıdaki sonucu daha da ileri götürerek, nth terimi şu şekilde de verilebilir;
an =am + (n-m)d, burada am rastgele bir terimdir n > m. olacak şekilde sırayla
Çift sayılar kümesi ve tek sayılar kümesi, her dizinin ortak farkının (d) 2 olduğu aritmetik dizilerin en basit örnekleridir.
Bir dizideki terimlerin sayısı sonsuz veya sonlu olabilir. Sonsuz durumda (n → ∞), dizi, ortak farka (an → ±∞) bağlı olarak sonsuza gitme eğilimindedir. Ortak fark pozitifse (d > 0) dizi pozitif sonsuza, ortak fark negatifse (d < 0) negatif sonsuzluğa yönelir. Terimler sonluysa dizi de sonludur.
Aritmetik dizideki terimlerin toplamı aritmetik dizi olarak bilinir: Sn=a1 + a 2 + a3 + a4 + ⋯ + an =∑ i=1→n ai; ve Sn=(n/2) (a1 + an)=(n/2) [2a1 + (n-1)d] dizi (Sn)
Geometrik Dizi (Geometrik İlerleme) hakkında daha fazla bilgi
Geometrik dizi, ardışık iki terimin bölümünün sabit olduğu bir dizi olarak tanımlanır. Bu aynı zamanda geometrik ilerleme olarak da bilinir.
Geometrik dizi ⇒ a1, a2, a3, a4 , …, an; burada a2/a1=r, a3/a2=r, ve böyle devam eder, burada r gerçek bir sayıdır.
Ortak oran (r) ve başlangıç terimi (a) kullanılarak geometrik diziyi temsil etmek daha kolaydır. Dolayısıyla geometrik dizi ⇒ a1, a1r, a1r2, a1r3, …, a1rn-1.
an =a1r tarafından verilen nth terimlerinin genel biçimi n-1. (İlk terimin alt simgesini kaybetmek ⇒ an =arn-1)
Geometrik dizi ayrıca sonlu veya sonsuz olabilir. Terimlerin sayısı sonlu ise, dizinin sonlu olduğu söylenir. Terimler sonsuz ise, dizi r oranına bağlı olarak ya sonsuz ya da sonlu olabilir. Ortak oran, geometrik dizilerdeki birçok özelliği etkiler.
| r > o | 0 < r < +1 | Sıra yakınsak – üstel bozulma, yani an → 0, n → ∞ |
| r=1 | Sabit dizi, yani an=sabit | |
| r > 1 | Sıra ayrılıyor – üstel büyüme, yani an → ∞, n → ∞ | |
| r < 0 | -1 < r < 0 | Sıra salınım yapıyor ama yakınsıyor |
| r=1 | Sıra değişken ve sabittir, yani an=±sabit | |
| r < -1 | Sıra değişiyor ve farklılaşıyor. yani an → ±∞, n → ∞ | |
| r=0 | Sıra bir dizi sıfırdır | |
N. B: Yukarıdaki tüm durumlarda, a1 > 0; a1 < 0 ise, an ile ilgili işaretler ters çevrilir.
Bir topun sekmeleri arasındaki zaman aralığı, ideal modelde geometrik bir diziyi takip eder ve bu yakınsak bir dizidir.
Geometrik dizinin terimlerinin toplamı geometrik dizi olarak bilinir; Sn =ar+ ar2 + ar3 + ⋯ + arn=∑i=1→n ari. Geometrik serilerin toplamı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.
Sn =a(1-r)/(1-r); burada a başlangıç terimi ve r orandır.
Eğer oran, r ≤ 1 ise, seri yakınsar. Sonsuz bir seri için yakınsama değeri Sn=a/(1-r) ile verilir.
Aritmetik ve Geometrik Sıra/İlerleme arasındaki fark nedir?
• Bir aritmetik dizide, herhangi iki ardışık terimin ortak bir farkı (d) vardır, geometrik dizide ise herhangi iki ardışık terimin sabit bir bölümü (r) vardır.
• Bir aritmetik dizide, terimlerin değişimi doğrusaldır, yani tüm noktalardan geçen düz bir çizgi çizilebilir. Geometrik bir seride varyasyon üsteldir; ortak orana göre büyüyor ya da azalıyor.
• Tüm sonsuz aritmetik diziler ıraksaktır, oysa sonsuz geometrik seriler ıraksak veya yakınsak olabilir.
• Aritmetik seri salınım göstermiyorken r oranı negatifse geometrik dizi salınım gösterebilir
