Entegrasyon ve Toplama
Lise üstü matematikte, entegrasyon ve toplama genellikle matematiksel işlemlerde bulunur. Görünüşe göre farklı araçlar olarak ve farklı durumlarda kullanılıyorlar, ancak çok yakın bir ilişki paylaşıyorlar.
Toplama hakkında daha fazla bilgi
Toplama, bir dizi sayı ekleme işlemidir ve işlem genellikle Yunanca büyük harf sigma Σ ile gösterilir. Toplamı kıs altmak için kullanılır ve dizinin toplamına/toplamına eşittir. Genellikle, özetlenen sonsuz diziler olan dizileri temsil etmek için kullanılırlar. Vektörlerin, matrislerin veya polinomların toplamını belirtmek için de kullanılabilirler.
Toplama genellikle genel bir terimle temsil edilebilen bir dizi değer için yapılır, örneğin ortak bir terime sahip bir dizi. Toplamın başlangıç noktası ve bitiş noktası, sırasıyla toplamanın alt sınırı ve üst sınırı olarak bilinir.
Örneğin, a1, a2, a3, a dizisinin toplamı 4, …, an is a1 + a2 + a 3 + … + an, ∑ olarak toplama notasyonu kullanılarak kolayca temsil edilebilir i=1 ai; i, toplama indeksi olarak adlandırılır.
Uygulamaya bağlı olarak toplama için birçok varyasyon kullanılır. Bazı durumlarda, üst sınır ve alt sınır bir aralık veya aralık olarak verilebilir, örneğin ∑1≤i≤100 ai ve ∑i∈[1, 100] ai Veya ∑i∈P gibi bir sayı kümesi olarak verilebilir ai, burada P tanımlı bir kümedir.
Bazı durumlarda, iki veya daha fazla sigma işareti kullanılabilir, ancak bunlar aşağıdaki gibi genelleştirilebilir; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Ayrıca, toplama birçok cebirsel kuralı takip eder. Gömülü işlem toplama olduğundan, cebirin ortak kurallarının çoğu, toplamların kendisine ve toplama tarafından gösterilen bireysel terimlere uygulanabilir.
Entegrasyon hakkında daha fazla bilgi
Entegrasyon, farklılaşmanın tersi süreci olarak tanımlanır. Ancak geometrik görünümünde, fonksiyonun ve eksenin eğrisi tarafından çevrelenen alan olarak da düşünülebilir. Bu nedenle, alanın hesaplanması, şemada gösterildiği gibi belirli bir integralin değerini verir.
Görüntü Kaynağı:
Belirli integralin değeri aslında eğri ve eksen içindeki küçük şeritlerin toplamıdır. Her şeridin alanı, dikkate alınan eksen üzerindeki noktada yükseklik x genişliktir. Genişlik seçebileceğimiz bir değerdir, diyelim ki ∆x. Ve yükseklik yaklaşık olarak fonksiyonun düşünülen noktadaki değeridir, diyelim ki f (xi). Şemadan, şeritler ne kadar küçükse, şeritlerin sınırlanan alana daha iyi oturduğu, dolayısıyla değerin daha iyi tahmin edildiği açıktır.
Yani, genel olarak, a ve b noktaları arasındaki (yani a<b olduğu [a, b] aralığında) belirli integral I, I ≅ f (x1) olarak verilebilir.)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, burada n şerit sayısıdır (n=(b-a)/∆x). Alanın bu toplamı, toplama notasyonu kullanılarak kolayca temsil edilebilir, çünkü I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x.∆x daha küçük olduğunda yaklaşıklık daha iyi olduğundan, değeri ∆x→0 olduğunda hesaplayabiliriz. Bu nedenle, I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Yukarıdaki konseptten bir genelleme olarak, i ile indekslenen dikkate alınan aralığa (konuma göre alanın genişliğini seçerek) göre ∆x'i seçebiliriz. Sonraalırız
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Bu, [a, b] aralığında f (x) fonksiyonunun Reimann İntegrali olarak bilinir. Bu durumda a ve b, integralin üst sınırı ve alt sınırı olarak bilinir. Reimann integrali, tüm entegrasyon yöntemlerinin temel bir biçimidir.
Özünde entegrasyon, dikdörtgenin genişliği sonsuz küçük olduğunda alanın toplamıdır.
Entegrasyon ve Toplama arasındaki fark nedir?
• Toplama, bir dizi sayının toplanmasıdır. Genellikle, dizideki terimler olduğunda toplama bu biçimde verilir ∑i=1 ai bir kalıbı vardır ve genel bir terim kullanılarak ifade edilebilir.
• Entegrasyon temel olarak fonksiyonun eğrisi, eksen ve üst ve alt limitlerle sınırlanan alandır. Bu alan, sınırlı alana dahil olan çok daha küçük alanların toplamı olarak verilebilir.
• Toplama, üst ve alt sınırları olan ayrık değerleri içerirken, entegrasyon sürekli değerleri içerir.
• Entegrasyon, özel bir toplama biçimi olarak yorumlanabilir.
• Sayısal hesaplama yöntemlerinde, entegrasyon her zaman bir toplama olarak gerçekleştirilir.
