İlişkisel ve Değişmeli
Günlük hayatımızda, bir şeyin ölçüsünü almamız gerektiğinde sayıları kullanmak zorundayız. Bakkalda, benzin istasyonunda ve hatta mutfakta bile iki veya daha fazla miktarı toplamamız, çıkarmamız ve çarpmamız gerekiyor. Uygulamamızdan, bu hesaplamaları oldukça zahmetsizce yapıyoruz. Bu işlemleri neden bu şekilde yaptığımızı asla fark etmiyoruz veya sorgulamıyoruz. Ya da neden bu hesaplamalar farklı bir şekilde yapılamıyor. Cevap, bu işlemlerin cebirin matematiksel alanında tanımlanma biçiminde gizlidir.
Cebirde, iki niceliği içeren bir işlem (toplama gibi) ikili işlem olarak tanımlanır. Daha doğrusu, bir kümedeki iki eleman arasındaki bir işlemdir ve bu elemanlara 'işlenen' denir. Matematikte daha önce bahsedilen aritmetik işlemler ve küme teorisi, lineer cebir ve matematiksel mantıkta karşılaşılanlar dahil birçok işlem ikili işlemler olarak tanımlanabilir.
Belirli bir ikili işlemle ilgili bir dizi yönetim kuralı vardır. İlişkisel ve değişmeli özellikler, ikili işlemlerin iki temel özelliğidir.
Değişmeli Mülkiyet hakkında daha fazla bilgi
Diyelim ki ⊗ sembolü ile gösterilen bazı ikili işlemler A ve B öğeleri üzerinde gerçekleştiriliyor. İşlenenlerin sırası işlemin sonucunu etkilemiyorsa, işlemin değişmeli olduğu söylenir. yani, A ⊗ B=B ⊗ A ise, işlem değişmeli.
Aritmetik işlemler toplama ve çarpma değişmeli. Toplanan veya çarpılan sayıların sırası nihai cevabı etkilemez:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Fakat bölme durumunda sıradaki değişiklik diğerinin tersini verir ve çıkarmada değişiklik diğerinin olumsuzunu verir. Bu nedenle, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 ve 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 ve 5 ÷ 4=1,25 [bu durumda A, B ≠ 1 ve 0]
Aslında, çıkarmanın anti-değişmeli olduğu söylenir; nerede A – B=– (B – A).
Ayrıca, mantıksal bağlaçlar, bağlaç, ayrılma, ima ve eşdeğerlik de değişmeli. Doğruluk fonksiyonları da değişmeli. Küme işlemleri birliği ve kesişimi değişmelidir. Vektörlerin toplaması ve skaler çarpımı da değişmelidir.
Fakat vektör çıkarma ve vektör çarpımı değişmeli değildir (iki vektörün vektör çarpımı anti-değişmelidir). Matris toplaması değişmeli, ancak çarpma ve çıkarma değişmeli değil.(İki matrisin çarpımı, bir matrisin tersiyle veya birim matrisiyle çarpılması gibi özel durumlarda değişmeli olabilir; ancak matrisler aynı boyutta değilse kesinlikle matrisler değişmeli değildir)
Associative Property hakkında daha fazla bilgi
İşlecin iki veya daha fazla tekrarı olduğunda yürütme sırası sonucu etkilemiyorsa, ikili işlemin ilişkisel olduğu söylenir. A, B ve C öğelerini ve ikili işlemi ⊗ düşünün. ⊗ işleminin ilişkisel olduğu söylenir, eğer
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Temel aritmetik fonksiyonlardan, sadece toplama ve çarpma ilişkiseldir.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Çıkarma ve bölme ilişkisel değildir;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 ve (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 ve (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Mantıksal bağlaçların ayrılması, birleşimi ve eşdeğerliği, aynı zamanda küme işlemleri birliği ve kesişimi gibi birleştiricidir. Matris ve vektör toplaması ilişkiseldir. Vektörlerin skaler çarpımı birleştiricidir, ancak vektör çarpımı değildir. Matris çarpımı yalnızca özel koşullar altında ilişkiseldir.
Değişmeli ve İlişkili Özellik arasındaki fark nedir?
• Hem birleştirici özellik hem de değişmeli özellik, ikili işlemlerin özel özellikleridir ve bazıları bunları karşılar ve bazıları sağlamaz.
• Bu özellikler birçok cebirsel işlem biçiminde ve matematikteki diğer ikili işlemlerde görülebilir, örneğin küme teorisindeki kesişim ve birleşim veya mantıksal bağlaçlar.
• Değişmeli ve birleştirici arasındaki fark, değişmeli özelliğin, öğelerin sırasının nihai sonucu değiştirmediğini belirtirken birleştirici özellik, işlemin gerçekleştirildiği sıranın nihai cevabı etkilemediğini belirtir..
