Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Diferansiyel Denklemler
Bilinmeyen bir değişkenin en az bir diferansiyel katsayısını veya türevini içeren bir denklem, diferansiyel denklem olarak bilinir. Bir diferansiyel denklem doğrusal veya doğrusal olmayan olabilir. Bu makalenin kapsamı lineer diferansiyel denklemin ne olduğunu, lineer olmayan diferansiyel denklemin ne olduğunu ve lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler arasındaki farkın ne olduğunu açıklamaktır.
18. yüzyılda Newton ve Leibnitz gibi matematikçiler tarafından kalkülüsün geliştirilmesinden bu yana, diferansiyel denklem matematiğin hikayesinde önemli bir rol oynamıştır. Diferansiyel denklemler, uygulama alanları nedeniyle matematikte büyük önem taşır. Diferansiyel denklemler, fizikte, mühendislikte, kimyada, istatistikte, finansal analizde veya biyolojide olsun, dünyadaki herhangi bir senaryoyu veya olayı açıklamak için geliştirdiğimiz her modelin kalbinde yer alır (liste sonsuzdur). Aslında, kalkulus yerleşik bir teori haline gelene kadar, doğadaki ilginç problemleri analiz etmek için uygun matematiksel araçlar mevcut değildi.
Belirli bir kalkülüs uygulamasından elde edilen denklemler çok karmaşık olabilir ve bazen çözülemez. Ancak çözebileceğimiz, ancak birbirine benzeyen ve kafa karıştırıcı görünenler var. Bu nedenle, daha kolay tanımlama için diferansiyel denklemler matematiksel davranışlarına göre sınıflandırılır. Doğrusal ve doğrusal olmayan böyle bir sınıflandırmadır. Doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler arasındaki farkı belirlemek önemlidir.
Lineer Diferansiyel Denklem Nedir?
F: X→Y ve f(x)=y'nin, bilinmeyen y fonksiyonunun ve türevlerinin doğrusal olmayan terimleri olmayan bir diferansiyel denklemin lineer diferansiyel denklem olarak bilindiğini varsayalım.
y'nin y2, y3, … gibi daha yüksek indeks terimlerine ve bunun gibi türevlerin katlarına sahip olamama koşulunu empoze eder.olarak
Ayrıca Sin y, e y ^-2 veya ln y gibi doğrusal olmayan terimler içeremez.şeklini alır
burada y ve g, x'in fonksiyonlarıdır. Denklem, en yüksek mertebeden türevin indeksi olan n mertebesinden bir diferansiyel denklemdir.
Doğrusal bir diferansiyel denklemde, diferansiyel operatör bir lineer operatördür ve çözümler bir vektör uzayı oluşturur. Çözüm kümesinin doğrusal doğasının bir sonucu olarak, çözümlerin doğrusal bir birleşimi de diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Yani, y1 ve y2 diferansiyel denklemin çözümleri ise, o zaman C1 y 1+ C2 y2 da bir çözümdür.
Denklemin doğrusallığı, sınıflandırmanın yalnızca bir parametresidir ve ayrıca homojen veya homojen olmayan ve adi veya kısmi diferansiyel denklemler olarak kategorize edilebilir. Eğer fonksiyon g=0 ise denklem lineer homojen bir diferansiyel denklemdir. f iki veya daha fazla bağımsız değişkenin (f: X, T→Y) ve f(x, t)=y 'nin bir fonksiyonuysa, denklem lineer kısmi diferansiyel denklemdir.
Diferansiyel denklemin çözüm yöntemi, diferansiyel denklemin türüne ve katsayılarına bağlıdır. En kolay durum, katsayılar sabit olduğunda ortaya çıkar. Bu duruma klasik örnek Newton'un ikinci hareket yasası ve onun çeşitli uygulamalarıdır. Newton'un ikinci yasası, sabit katsayılı bir ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklem üretir.
Doğrusal Olmayan Diferansiyel Denklem Nedir?
Doğrusal olmayan terimler içeren denklemler, doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak bilinir.
Yukarıdakilerin tümü doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin çözülmesi zordur, bu nedenle doğru bir çözüm elde etmek için yakın çalışma gereklidir. Kısmi diferansiyel denklemlerde, denklemlerin çoğunun genel bir çözümü yoktur. Bu nedenle, her denklem bağımsız olarak ele alınmalıdır.
Navier-Stokes denklemi ve akışkanlar dinamiğinde Euler denklemi, Einstein'ın genel görelilik alan denklemleri iyi bilinen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bazen Lagrange denkleminin değişken bir sisteme uygulanması, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler sistemiyle sonuçlanabilir.
Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Diferansiyel Denklemler arasındaki fark nedir?
• Yalnızca bilinmeyen veya bağımlı değişkenin doğrusal terimlerini ve türevlerini içeren bir diferansiyel denklem, doğrusal bir diferansiyel denklem olarak bilinir. Endeks bağımlı değişkeni 1'den büyük olan bir terimi yoktur ve türevlerinin herhangi bir katını içermez. Bağımlı değişkene göre trigonometrik fonksiyonlar, üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyonlar gibi doğrusal olmayan fonksiyonlara sahip olamaz. Yukarıda belirtilen terimleri içeren herhangi bir diferansiyel denklem, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemdir.
• Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri vektör uzayı yaratır ve diferansiyel operatör de vektör uzayında lineer bir operatördür.
• Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri nispeten daha kolaydır ve genel çözümler mevcuttur. Doğrusal olmayan denklemler için çoğu durumda genel çözüm mevcut değildir ve çözüm probleme özel olabilir. Bu, çözümü lineer denklemlerden çok daha zor hale getirir.
