Laplace ve Fourier Dönüşümleri
Hem Laplace dönüşümü hem de Fourier dönüşümü, matematiksel olarak modellenmiş fiziksel sistemleri çözmek için en yaygın olarak matematiksel yöntemler olarak kullanılan integral dönüşümlerdir. İşlem basittir. Karmaşık bir matematiksel model, integral dönüşüm kullanılarak daha basit, çözülebilir bir modele dönüştürülür. Daha basit model çözüldüğünde, orijinal modele çözüm sağlayacak olan ters integral dönüşümü uygulanır.
Örneğin, fiziksel sistemlerin çoğu diferansiyel denklemlerle sonuçlandığından, bir integral dönüşümü kullanılarak cebirsel denklemlere veya daha düşük derecede kolay çözülebilir diferansiyel denklemlere dönüştürülebilirler. O zaman sorunu çözmek daha kolay olacak.
Laplace dönüşümü nedir?
Gerçek bir değişken t'nin f (t) işlevi verildiğinde, onun Laplace dönüşümü [lateks] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- integrali ile tanımlanır. st}f(t)dt [/lateks] (var olduğu zaman), bu karmaşık bir s değişkeninin fonksiyonudur. Genellikle L { f (t)} ile gösterilir. Bir F (s) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümü, L { f (t)}=F (s) olacak şekilde f (t) fonksiyonu olarak alınır ve yazdığımız olağan matematiksel gösterimde, L-1{ F (s)}=f (t). Boş işlevlere izin verilmiyorsa, ters dönüşüm benzersiz yapılabilir. Bu ikisi fonksiyon uzayında tanımlanan lineer operatörler olarak tanımlanabilir ve ayrıca L -1{ L { f (t)}}=f (t) olduğunu görmek kolaydır., boş işlevlere izin verilmiyorsa.
Aşağıdaki tablo, en yaygın işlevlerden bazılarının Laplace dönüşümlerini listeler.
Fourier dönüşümü nedir?
Gerçek bir t değişkeninin f (t) işlevi verildiğinde, onun Laplace dönüşümü [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ integrali ile tanımlanır pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/lateks] (varsa) ve genellikle F { f ile gösterilir (t)}. Ters dönüşüm F -1{ F (α)}, [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi integrali tarafından verilir }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateks]. Fourier dönüşümü de doğrusaldır ve fonksiyon uzayında tanımlanan bir operatör olarak düşünülebilir.
Fourier dönüşümü kullanılarak, fonksiyonun sadece sonlu sayıda süreksizliğe sahip olması ve kesinlikle integrallenebilir olması şartıyla orijinal fonksiyon aşağıdaki gibi yazılabilir.
Laplace ve Fourier Dönüşümleri arasındaki fark nedir?
- Bir f (t) fonksiyonunun Fourier dönüşümü şu şekilde tanımlanır: [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], bunun laplace dönüşümü [latex] F(s)=\\int_{ olarak tanımlanır 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/lateks].
- Fourier dönüşümü sadece tüm gerçek sayılar için tanımlanan fonksiyonlar için tanımlanırken, Laplace dönüşümü fonksiyonun negatif reel sayılar kümesinde tanımlanmasını gerektirmez.
- Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümünün özel bir durumudur. Negatif olmayan reel sayılar için her ikisinin de çakıştığı görülebilir. (yani, Laplace'da s'yi iα + β olarak alın, burada α ve β gerçektir, öyle ki e β=1/ √(2ᴫ))
- Fourier dönüşümüne sahip her işlevin bir Laplace dönüşümü olacaktır, ancak bunun tersi olmayacaktır.
