Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümü
Fourier serisi, periyodik bir işlevi, farklı frekans ve genliklere sahip sinüs ve kosinüslerin toplamına ayrıştırır. Fourier serisi, Fourier analizinin bir dalıdır ve Joseph Fourier tarafından tanıtılmıştır. Fourier Dönüşümü, bir sinyali kurucu frekanslarına bölen matematiksel bir işlemdir. Zamanla değişen orijinal sinyale, sinyalin zaman alanı gösterimi denir. Fourier dönüşümü, frekansa bağlı olduğu için bir sinyalin frekans alanı gösterimi olarak adlandırılır. Hem bir sinyalin frekans alanı gösterimi hem de bu sinyali frekans alanına dönüştürmek için kullanılan süreç, Fourier dönüşümü olarak adlandırılır.
Fourier Serisi Nedir?
Daha önce bahsedildiği gibi, Fourier serisi, sinüs ve kosinüslerin sonsuz toplamını kullanan periyodik bir fonksiyonun bir açılımıdır. Fourier serileri başlangıçta ısı denklemlerini çözerken geliştirildi, ancak daha sonra aynı tekniğin geniş bir matematik problem setini, özellikle sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemleri içeren problemleri çözmek için kullanılabileceği bulundu. Şimdi, Fourier serisinin elektrik mühendisliği, titreşim analizi, akustik, optik, sinyal işleme, görüntü işleme, kuantum mekaniği ve ekonometri gibi çok sayıda alanda uygulamaları var. Fourier serileri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının ortogonallik ilişkilerini kullanır. Fourier serilerinin hesaplanması ve incelenmesi harmonik analiz olarak bilinir ve keyfi periyodik fonksiyonlarla çalışırken çok faydalıdır, çünkü orijinal probleme bir çözüm elde etmek için kullanılabilecek fonksiyonu basit terimlere ayırmaya izin verir.
Fourier dönüşümü nedir?
Fourier dönüşümü, zaman alanındaki bir sinyal ile frekans alanındaki temsili arasındaki ilişkiyi tanımlar. Fourier dönüşümü, bir fonksiyonu salınımlı fonksiyonlara ayrıştırır. Bu bir dönüşüm olduğundan, dönüşümün bilinmesiyle orijinal sinyal elde edilebilir, bu nedenle süreçte hiçbir bilgi oluşmaz veya kaybolmaz. Fourier serisinin incelenmesi aslında Fourier dönüşümü için motivasyon sağlar. Sinüs ve kosinüslerin özelliklerinden dolayı, bir integral kullanarak her bir dalganın toplamına katkıda bulunan miktarı geri almak mümkündür. Fourier dönüşümü doğrusallık, öteleme, modülasyon, ölçekleme, konjugasyon, dualite ve evrişim gibi bazı temel özelliklere sahiptir. Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümü ile yakından ilişkili olduğundan, diferansiyel denklemlerin çözümünde uygulanır. Fourier dönüşümü ayrıca nükleer manyetik rezonans (NMR) ve diğer spektroskopi türlerinde de kullanılır.
Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümü Arasındaki Fark
Fourier serisi, sinüs ve kosinüslerin doğrusal bir kombinasyonu olarak periyodik sinyalin bir genişlemesidir, Fourier dönüşümü ise sinyalleri zaman alanından frekans alanına dönüştürmek için kullanılan işlem veya işlevdir. Fourier serisi periyodik sinyaller için tanımlanır ve Fourier dönüşümü periyodik olmayan (periyodiklik olmadan meydana gelen) sinyallere uygulanabilir. Yukarıda bahsedildiği gibi, Fourier serisinin incelenmesi aslında Fourier dönüşümü için motivasyon sağlar.
