Birbirine Özel ve Bağımsız Olaylar
İnsanlar genellikle birbirini dışlayan olaylar kavramını bağımsız olaylarla karıştırır. Aslında bunlar iki farklı şey.
A ve B, rastgele bir deney E ile ilişkili herhangi iki olay olsun. P(A)'ya “A Olasılığı” denir. Benzer şekilde, B olasılığını P(B), A veya B olasılığını P(A∪B) ve A ve B olasılığını P(A∩B) olarak tanımlayabiliriz. Sonra, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Ancak, bir olayın meydana gelmesi diğerini etkilemiyorsa, iki olayın birbirini dışladığı söylenir. Başka bir deyişle, aynı anda meydana gelemezler. Bu nedenle, eğer iki A ve B olayı birbirini dışlıyorsa, o zaman A∩B=∅ ve dolayısıyla bu, P(A∪B)=P(A)+ P(B) anlamına gelir.
A ve B, bir örnek uzay S'de iki olay olsun. B'nin meydana geldiği göz önüne alındığında, A'nın koşullu olasılığı P(A | B) ile gösterilir ve şu şekilde tanımlanır; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), sağlanan P(B)>0. (aksi halde tanımlanmamıştır.)
A olayının meydana gelme olasılığı B'nin olup olmamasından etkilenmiyorsa, A olayının B olayından bağımsız olduğu söylenir. Başka bir deyişle, B olayının sonucunun A olayının sonucu üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Bu nedenle, P(A | B)=P(A). Benzer şekilde, P(B)=P(B | A) ise B, A'dan bağımsızdır. Dolayısıyla, eğer A ve B bağımsız olaylarsa, P(A∩B)=P(A). P(B) sonucuna varabiliriz.
Sayılı bir küpün yuvarlandığını ve adil bir madeni paranın atıldığını varsayalım. Tura gelme olayı A, çift sayı alma olayı B olsun. O zaman A ve B olaylarının bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü birinin sonucu diğerinin sonucunu etkilemez. Bu nedenle, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. P(A∩B)≠0, A ve B birbirini dışlayamaz.
Bir kavanozun 7 beyaz bilye ve 8 siyah bilye içerdiğini varsayalım. A olayını beyaz bir bilye çizmek olarak ve B olayını siyah bir bilye çizmek olarak tanımlayın. Her bir bilyenin rengini not ettikten sonra değiştirileceğini varsayarsak, semaverden ne kadar çekersek çekelim, P(A) ve P(B) her zaman aynı olacaktır. Mermerleri değiştirmek, son çekilişte hangi rengi seçersek seçelim, olasılıkların çekilişten çekilişe değişmediği anlamına gelir. Bu nedenle, A ve B olayı bağımsızdır.
Ancak, bilyeler yerine konulmadan çizilirse her şey değişir. Bu varsayıma göre A ve B olayları bağımsız değildir. İlk seferde beyaz bilye çizmek, ikinci çekilişte siyah bilye çekme olasılığını değiştirir vb. Başka bir deyişle, her çekiliş bir sonraki çekiliş üzerinde bir etkiye sahiptir ve bu nedenle bireysel çekilişler bağımsız değildir.
Birbirini Dışlayan ve Bağımsız Olaylar Arasındaki Fark
– Olayların karşılıklı münhasırlığı, A ve B kümeleri arasında örtüşme olmadığı anlamına gelir. Olayların bağımsızlığı, A'nın gerçekleşmesinin B'nin gerçekleşmesini etkilemediği anlamına gelir.
– İki olay A ve B birbirini dışlıyorsa, P(A∩B)=0.
– İki olay A ve B bağımsızsa, o zaman P(A∩B)=P(A). P(B)
