Nüfus vs Örnek Standart Sapma
İstatistikte, merkezi eğilimine, dağılımına ve çarpıklığına karşılık gelen bir veri kümesini tanımlamak için çeşitli endeksler kullanılır. Standart sapma, veri kümesinin merkezinden veri dağılımının en yaygın ölçülerinden biridir.
Pratik zorluklar nedeniyle, bir hipotez test edildiğinde tüm popülasyondan elde edilen verilerden yararlanmak mümkün olmayacaktır. Bu nedenle, popülasyon hakkında çıkarımlar yapmak için örneklerden veri değerlerini kullanırız. Böyle bir durumda, popülasyon parametre değerlerini tahmin ettikleri için bunlara tahmin ediciler denir.
Çıkarımda yansız tahmin ediciler kullanmak son derece önemlidir. Bir tahmincinin beklenen değeri popülasyon parametresine eşitse, bir tahmincinin yansız olduğu söylenir. Örneğin, popülasyon ortalaması için yansız bir tahmin edici olarak örnek ortalamayı kullanırız. (Matematiksel olarak, örnek ortalamanın beklenen değerinin popülasyon ortalamasına eşit olduğu gösterilebilir). Popülasyon standart sapmasının tahmin edilmesi durumunda, örnek standart sapması da yansız bir tahmin edicidir.
Nüfus standart sapması nedir?
Tüm popülasyondan elde edilen veriler dikkate alındığında (örneğin bir nüfus sayımı durumunda) popülasyon standart sapmasını hesaplamak mümkündür. Popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için önce veri değerlerinin popülasyon ortalamasından sapmaları hesaplanır. Sapmaların ortalama karekökü (kuadratik ortalama) popülasyon standart sapması olarak adlandırılır.
10 kişilik bir sınıfta öğrencilerle ilgili veriler kolayca toplanabilir. Bu öğrenci popülasyonu üzerinde bir hipotez test edilirse, örnek değerlerin kullanılmasına gerek yoktur. Örneğin 10 öğrencinin kiloları (kilogram olarak) 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 ve 79 olarak ölçülmüştür. Daha sonra on kişinin ortalama ağırlığı (kilogram olarak) (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, yani 71 (kilogram olarak). Bu nüfus ortalamasıdır.
Şimdi popülasyon standart sapmasını hesaplamak için ortalamadan sapmaları hesaplıyoruz. Ortalamadan ilgili sapmalar (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 ve (79 – 71)=8. Sapma karelerinin toplamı (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Popülasyon standart sapması √(366/10)=6.05'tir (kilogram olarak). 71, sınıftaki öğrencilerin tam ortalama ağırlığı ve 6.05, ağırlığın 71'den tam standart sapmasıdır.
Örnek standart sapması nedir?
Bir örneklemden (n boyutunda) alınan veriler, popülasyonun parametrelerini tahmin etmek için kullanıldığında, örnek standart sapması hesaplanır. İlk olarak, örnek ortalamadan veri değerlerinin sapmaları hesaplanır. Örnek ortalama, popülasyon ortalaması (bilinmeyen) yerine kullanıldığından, ikinci dereceden ortalamanın alınması uygun değildir. Örnek ortalamasının kullanımını telafi etmek için, sapmaların karelerinin toplamı n yerine (n-1)'e bölünür. Örnek standart sapma bunun karekökü. Matematiksel sembollerde, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, burada S, örnek standart sapmadır, ẍ örnek ortalamadır ve xi'lar veri noktalarıdır.
Şimdi, önceki örnekte nüfusun tüm okulun öğrencileri olduğunu varsayalım. O zaman, sınıf sadece bir örnek olacaktır. Tahminde bu örnek kullanılırsa örneklem standart sapması √(366/9)=6 olacaktır.38 (kilogram olarak) 366, 10 yerine 9'a bölündüğünden (örnek boyutu). Gözlemlenmesi gereken gerçek şu ki, bunun tam popülasyon standart sapma değeri olması garanti edilmez. Bu sadece bir tahmindir.
Nüfus standart sapması ile örnek standart sapması arasındaki fark nedir?
• Nüfus standart sapması, merkezden dağılımı ölçmek için kullanılan kesin parametre değeridir, oysa örnek standart sapması bunun için tarafsız bir tahmin edicidir.
• Popülasyon standart sapması, popülasyonun her bir bireyine ilişkin tüm veriler bilindiğinde hesaplanır. Aksi takdirde, örnek standart sapması hesaplanır.
• Popülasyon standart sapması σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} ile verilir, burada µ popülasyon ortalaması ve n popülasyon büyüklüğüdür ancak örnek standart sapması S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} ile verilir, burada ẍ örnek ortalamasıdır ve n örnek boyutudur.
