Hiperbol ve Elips
Bir koni farklı açılarda kesildiğinde, koninin kenarıyla farklı eğriler işaretlenir. Bu eğrilere genellikle konik bölümler denir. Daha doğrusu konik kesit, dik dairesel konik bir yüzeyin bir düzlem yüzeyle kesişmesiyle elde edilen bir eğridir. Farklı kesişme açılarında farklı konik kesitler verilmiştir.
Hem hiperbol hem de elips konik kesitlerdir ve farklılıkları bu bağlamda kolayca karşılaştırılabilir.
Elips hakkında daha fazla bilgi
Konik yüzey ile düzlem yüzeyin kesişimi kapalı bir eğri oluşturduğunda, elips olarak bilinir. Sıfır ile bir arasında bir eksantrikliğe sahiptir (0<e<1). Aynı zamanda, iki sabit noktadan noktaya olan mesafelerin toplamı sabit kalacak şekilde bir düzlem üzerindeki noktalar kümesinin yeri olarak da tanımlanabilir. Bu iki sabit nokta 'odak' olarak bilinir. (Unutmayın; ilköğretim matematik derslerinde elipsler, iki sabit pime bağlı bir dize veya bir dize döngüsü ve iki pim kullanılarak çizilir.)
Odaklardan geçen doğru parçası ana eksen olarak bilinir ve ana eksene dik olan ve elipsin merkezinden geçen eksen küçük eksen olarak bilinir. Her eksen boyunca çaplar, sırasıyla enine çap ve eşlenik çap olarak bilinir. Ana eksenin yarısı yarı ana eksen, küçük eksenin yarısı ise yarı küçük eksen olarak bilinir.
Her nokta F1 ve F2 elipsin odakları olarak bilinir ve uzunlukları F1 + PF2 =2a, burada P, elips üzerinde rastgele bir noktadır. Eksantriklik e, bir odaktan rastgele noktaya olan mesafe (PF 2) ile directrix'ten (PD) rastgele noktaya olan dikey mesafe arasındaki oran olarak tanımlanır. Aynı zamanda iki odak ile yarı ana eksen arasındaki mesafeye eşittir: e=PF/PD=f/a
Yarı ana eksen ve yarı küçük eksen Kartezyen eksenlerle çakıştığında elipsin genel denklemi aşağıdaki gibidir.
x2/a2 + y2/b2=1
Elips geometrisinin özellikle fizikte birçok uygulaması vardır. Güneş sistemindeki gezegenlerin yörüngeleri, tek odak noktası olan güneş ile elips şeklindedir. Anten ve akustik cihazlar için reflektörler, bir odak oluşturan herhangi bir emisyonun diğer odakta birleşeceği gerçeğinden yararlanmak için elips şeklinde yapılmıştır.
Hiperbol hakkında daha fazla bilgi
Hiperbol de konik bir bölümdür, ancak ucu açıktır. Hiperbol terimi, şekilde gösterilen iki bağlantısız eğriye atıfta bulunur. Bir elips gibi kapanmak yerine, hiperbolün kolları veya dalları sonsuza kadar devam eder.
İki dalın aralarında en kısa mesafeye sahip olduğu noktalara köşeler denir. Köşelerden geçen doğru, ana eksen veya enine eksen olarak kabul edilir ve hiperbolün ana eksenlerinden biridir. Parabolün iki odağı da ana eksen üzerinde yer alır. İki köşe arasındaki doğrunun orta noktası merkez, doğru parçasının uzunluğu ise yarı ana eksendir. Yarı ana eksenin dik açıortayı diğer ana eksendir ve hiperbolün iki eğrisi bu eksen etrafında simetriktir. Parabolün eksantrikliği birden büyüktür; e> 1.
Ana eksenler Kartezyen eksenlerle çakışıyorsa, hiperbolün genel denklemi şu şekildedir:
x2/a2 – y2/b2=1,
burada a, yarı ana eksendir ve b, merkezden iki odaktan birine olan mesafedir.
X eksenine bakan açık uçlu hiperboller doğu-batı hiperbolleri olarak bilinir. Benzer hiperboller y ekseninde de elde edilebilir. Bunlar y ekseni hiperbolleri olarak bilinir. Bu tür hiperbollerin denklemi biçimini alır.
y2/a2 – x2/b2=1
Hiperbol ve Elips arasındaki fark nedir?
• Hem elips hem de hiperbol konik bölümlerdir, ancak elips kapalı bir eğridir, hiperbol ise iki açık eğriden oluşur.
• Bu nedenle, elipsin çevresi sınırlıdır, ancak hiperbolün uzunluğu sonsuzdur.
• Her ikisi de ana ve küçük eksenleri etrafında simetriktir, ancak her durumda doğrultmanın konumu farklıdır. Elipste yarı ana eksenin dışında, hiperbolde ise yarı ana eksenin dışında yer alır.
• İki konik bölümün eksantriklikleri farklıdır.
0 <eElips < 1
eHiperbol > 0
• İki eğrinin genel denklemi aynı görünüyor, ancak bunlar farklı.
• Ana eksenin dik açıortayı elipsteki eğriyle kesişir, ancak hiperbolde kesişmez.
(Görüntü kaynağı: Wikipedia)
